Soit
G :- 6D'« -f- hi D"' -' 4- . . . 4- b„,,
une autre opération analogue à F (6, Z;,, . . . , />,;, ('tant des constantes comme ^/, Oi, . . . , a„).
ElFectuons successivement ces deux opérations; Topérction résultante sera
(^ette expression est la même que Ton obtiendrait en multipliant les deux polynômes F et G comme si D représentait une quantité et non ini symbole de dérivation. L'opération
l58 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
résultante sera donc indépendante de l'ordre des deux opérations F et G et pourra être représentée indifféremment par FG ou par GF.
D'ailleurs, une opération quelconque de l'espèce considérée, effectuée sur une quantité identiquement nulle, donne un résultat nul. Donc l'équation
0 = FG:f z=GFvC
admet comme solutions celles des équations
F:f=:o, Ga?=ro.
130. Soient donc 5|, 53, ... les racines de Véquation caractéristique
o — F=:aD'*H-aiD'»-*-i-. . .4- On,
[Xi, (Xo, ... leurs ordres de multiplicité. L'équation différentielle
admettra comme solutions celles des équations
Il est aisé de trouver ces dernières. Posons, en effet,
On aura
et en répétant cette opération
{D — s^)^xx — c'^^DV-xy,
Pour que le second membre soit nul, il faut et il suffit que^ soit un poljnôme arbitraire de degré [jL| — 1.
Réunissant les solutions particulières ainsi trouvées, on
ÉQUATIONS LINÉAIRES. llÇ)
voit que l'équation admet la solution
où P,, P2, ... sont des polynômes arbitraires de degrés
Celte solution contient [X| 4- 1x2 H- . . . = n constantes arbitraires. Ce sera donc la solution générale, si elle ne peut s'annuler que lorsque toutes ces constantes sont nulles. Nous allons prouver qu'il en est ainsi.
En effet, supposons qu'on ait
PieV-hP,e'.'-h... = o.
Posons
On aura
o = H(PieM 4- P,eV -+-... )n:Il(P,eV).
Mais on a, d'autre part,
Or les polynômes (D — s^)^^ et H étant premiers entre eux, on pourra déterminer deux nouveaux polynômes M et N tels que l'on ait
et, par suite,
or=[M(D — 5,){^.-4-NH](P,e'.')=Pi^'''.
Donc P| doit être identiquement nul. De même pour les autres polynômes Po, ....
131. Si les coefficients «i, a^j . • • étant réels, l'équation caractéristique F = o a des racines imaginaires, la solution générale que nous venons d'obtenir renfermera des imaginaires; mais il est aisé de les faire disparaître.
Soient, en effet, Si -— a H- p/, ^2= a — ^i un couple de
l6o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
racines conjuguées, a leur ordre de multiplicité; nous aurons dans rintégrale générale les deux termes
— e«'[P,(cosp^4-isînp/)H-P,(cosp^ — isinpO] ==Qie«'cosp^-t-Q,e«'sinp/,
Qij Qa étant des polynômes de degré [x — i, arbitraires
comme Tétaient P| et P2.
132. Connaissant, par ce qui précède, Tintégrale de l'équation sans second membre
(i) F.r=io,
on obtiendra par des quadratures celle de Téquation à second membre
On sera, d'ailleurs, dispensé de ces quadratures si Ton peut déterminer une solution particulière de cette dernière équation.
Ce cas se présentera si T est un polynôme entier eu /,
e*', eP^ . . . , siny/, cosy^, .... Car en remplaçant les sinus
et cosinus par des exponentielles, T sera une somme, de
termes de la forme
ne",
s désignant une constante et II un polynôme, dont nous désignerons le degré par À.
Nous aurons donc à chercher une solution particulière de Téquation
(3) Fj? — ne*'.
Les solutions de celte équation satisfont à Téquation
(4) (D — 5)>^-^' Fx—{D — s)^'^^Ue''~o qui n'a plus de second membre.
ÉQUATIONS LINÉAIRES. l6l
Deux cas seront à distinguer ici :
1® Si s diffère de 5|, ^2, • . •, Téquation (4) a pour intégrale générale
Pe^'H- Pie^t'H- P,eV4-. . . ,
où P est un polynôme de degré X.
Supprimant les termes qui appartiennent à Tintégrale de Fx = o, on voit que l'équation (3) doit admettre une intégrale particulière de la forme Pe*'.
2** Si 5 = 5| , l'intégrale générale de (4) sera
P'j étant un polynôme de degré jjL|4-X.
Supprimant encore les termes qui appartiennent à l'intégrale de F j: = o, on voit que l'équation (3) admet une intégrale particulière de la forme ^l^iPe*»', où P désigne encore un polynôme de degré X.
La forme de la solution particulière étant assignée dans chaque cas, il restera à déterminer les coefficients du polynôme P. Pour cela on substituera Pe''(ou /t*iPe*«') à la place de X dans l'équation (3); l'identification des deux membres donnera un système d'équations linéaires pour calculer les coefficients inconnus.
133. Exemple, — Soit à intégrer l'équation (d) y-^ -\- m^x^ cosnt.
Considérons d'abord l'équation sans second membre
—rr ■+■ ni*x:=i(D'-h m')j: = o.
Son équation caractéristique
admet les deux racines simples ± mi. Elle aura donc pour J. — Cours, III. II
l6a TROISIËXB PjLBTIB. — CHAPITRE II.
intégrale générale
Gco$ma7+ Cj sinmx,
où G, G| sont des constantes arbitraires (des polynômes de degré zéro).
Revenons à l'équation à second membre (5)
(D* -h m*) 07 1= cos ni.
On en déduit
(6) (D«4-/i*)(D*-hA/i«)^=:(D»-h/i*)cos/i^™o,
I® Si n^^m^y cette dernière équation aura pour intégrale générale
\cosnx -+- Aj sinnx 4- G cos m a? 4- Gi sin/nj:,
où A, A|, G, G| sont des constantes arbitraires. L'équation (5) a donc une intégrale particulière de la forme
\cosnx 4- Aj sinnx.
Substituons cette expression dans (5), il viendra
( — /i*4- m*)(Acos/ia7 -+- Aj sinnx)ziz cos/io:,
d'où
A =1 — i» Al 1= o.
L'intégrale générale de (5) sera donc
^ ^ . cosnx
Lcosmx •+- Cl sinmx h r :
2® SI n'^= m^, les équations (5) et (6) deviennent
(5)' (D*-h m») X = cosmt,
Gette dernière a pour intégrale générale
(G -H AO cos/n^4-(G,-h Ai/) sin mt et (5)' admettra une intégrale particulière de la forme
t{Acosml -+- A, sinmt).
ÉQUATIONS LINiAIRIS. l63
Celle expression, subslituée dans (5)'^ donne 2m( — A sinm^ -+- Aj cosm^) =: cosm^,
d'où
2/n LMnléçrale générale de (5)' sera donc
t co% mt
C cosmx -h Cj sinm^ -t-
134. Considérons un sjslème d'équalions linéaires à coe(fîcienls conslanls el sans seconds membres. Nous supposerons, pour fixer les idées, que ces équations soient au nombre de trois. Elles seront de la forme
L,a'-+-M,j-4-N,5 — o, LjO: -h Mfj' M- N,s ■= G.
L, M, ... désignant des facteurs symboliques tels que
aD"M- tzi D'»-* -H . . . -f- a,;,.
Soit
X — aDl*-4-ajDl^-*-h...,
une autre opération diiTérentielle quelconque. On a évidemment
X(L;r-4-My-HN2)=o.
On pourra donc remplacer le système (7) par le système obtenu en multipliant symboliquement une de ses équations par X et l'ajoutant à une autre, par exemple, par le système
(L -f- XLj)^ -h(M H- XM,)7 -+-(N -f- XNt)j5 = G,
L, X -h Mj/ -H N, 5 — 0,
On peut faire subir au système une autre genre de transformation.
l64 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE 11.
Soit xf une nouvelle variable définie par la relation
On pourra remplacer le système proposé par le suivant
L a;'-i-(L X-hM )7-»-N 5—0, Lta?'^-(L,X-^ Mj)/-hN,5riro,
Ces deux sortes d'opérations (combinaison des équations données et changements de variables) vont nous permettre d'intégrer le système.
