Soit A le déterminant

A- L, Ml N,

/ ni n /, m^ n^

Soient

ses mineurs; o leur plus grand commun diviseur.

Multiplions la première équation (7) par^;» la seconde par- 9 la troisième par -^ et ajoutons^ il vient

o in

L/4-L,/,-t-L,/, M/-i-M^/,-hiVf,/,

N/H- Vh-IVî.

ou, d'après les propriétés des mineurs,

-^XzziO,

On trouvera de même

ÉQUATIONS LINÉAIRES. l65

Donc x^y^ s satisfoot à l'équation dlfférenlîelle unique

dont nous savons déterminer l'intégrale générale. On aura donc, en désignant par.Ç|, .93, ... les racines de l'équation caractéristique, par [jL|, [jl2, ... leurs ordres de multiplicité^

Pi, Qi, R, étai:t des polynômes de degré |A| — i; P2, Q2, Rj des polynômes de degré [A2 — i , . . , .

Substituons ces valeurs dans les premiers membres deséqualions (7) et identifions le résultat à zéro. Nous obtiendrons un certain nombre de relations linéaires entre les coefficîenis de ces polynômes, et la solution contiendra autant de constantes arbitraires qu'il restera de coefficîenis indéterminés.

136. Si les équations proposées avaient des seconds membres de la forme

n, III étant des polynômes de degré ^X, on les ferait disparaître en multipliant les équations données par le facteur symbolique

et l'on serait ramené au problème précédent.

Celte analyse sommaire suffît pour obtenir la solution générale, sauf le cas où A est identiquement nul. Mais pour traiter ce cas exceptionnel, et aussi pour déterminer a priori dans le cas général le nombre des constantes arbitraires, il nous faut serrer la question de plus près.

137. Nous considérerons le système proposé comme d'autant plus simple que le degré minimum de ceux des coefficients L, . . . , N2 qui ne sont pas identiquement nuls sera plus petit. Ceci admis, proposons-nous de simplifier progrès-

l66 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.

sivement le système par les opérations indiquées ci-dessus (addition de lignes ou de colonnes).

Soit, pour fixer les idées, M| le coefixient de degré minimum dans le Tableau

Li M, N, L, M, N,.

Civisant M par M|, on pourra écrire

M^XM,-hR,

R étant de degré moindre que M| si M i ne divise pas M et pouvant être pris égal à M| si M| divise M. Dans le premier cas, le système