L-XL, M-XM,=:R N-XN, L, Ml N

sera plus simple que le proposé. Dans le cas contraire, il aura deux coefficients égaux à la seconde colonne.

On pourra de même, ou simplifier le système, ou le remplacer par un autre, où M2 soit remplacé par M| . On obtiendra ainsi un système de la forme

V M, N' Li M, Nj

Si l'un des coefficients L', N', L, , Ni , Li, N'a n'est pas divisible par Ml, on pourra simplifier le système (par des additions de colonnes). Sinon on pourra rendre V et N' égaux à M|.

Nous sommes ainsi parvenu à un système où tous les coefficients sont des multiples du premier.

Soit généralement

A AjA A,A

Ba B,A B,a Ga GjA CjA,

un semblable système. Par des soustractions de lignes, puis de colonnes, on pourra faire disparaître les coeffîcients de la première ligne et de la première colonne, sauf le premier, et Ton obtiendra un système de la forme

o Cj A C'j A.

Si B',, B'jj, C'j, C!j ne sont pas nuls à la fois, on pourra de même remplacer le Tableau partiel

par un autre, où le premier coefficient sera un multiple de A, tel que AAr, le second et le troisième seront nuls, et le dernier sera un multiple de AA|tel que AA| A2.

Le Tableau est ainsi ramené à la forme canonique

o AA, o o o AA1A2.

Une partie des transformations que nous avons fait subir au Tableau sont dues à des changements de variables. Soient Ç, 7|, JJ les dernières variables indépendantes adoptées. Elles seront définies indépendamment les unes des autres par les équations linéaires

(8) AÇ=0 AA,7i:zzO, AAiA,Ç = o.

Le nombre des constantes arbitraires sera égal à la somme des degrés des polynômes A, AA| , AA| A2 ou au degré de leur produit. Or ce produit est égal à A, car les additions de lignes ou de colonnes ne changent pas le déterminant.

On voit aisément qu^elles laissent également inaltérés : i^ le plus grand commun diviseur 8| des mineurs du premier

l68 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.

ordre, le plus grand commun diviseur §2 d^s mineurs du second ordre, clc. Or, sur la forme rédi ile du Tableau, on a

Ces équations permellraient de déterminer a priori A, A,, A3 à l'inspection du Tableau primitif.

138. Si le premier coefficient A se réduit à une constante, In première équation (8) ne sera plus une équation dilTérentielle, mais donnera Ç ^= o. Si A| se réduit aussi à une constante, on aura de même t\ = o, etc.

Enfin, si A est nul, un ou plusieurs coefficients A, A|, Aj seront nuls. Soit par exemple A2=o. Les deux premières équations (8) détermineront encore $, 7^; mais la dernière devenant identique, la fonction X^ restera arbitra rj.

139. On peut ramener aux équations à coefficients constants les équations linéaires de la forme

Posons en effet

a^-hP— e", d'où ^dtrrzc''du\ on aura

dx dx

dt du

et, en général,

dt^ - ^ r^, P;^ désignant une fonction linéaire à coefficients constants

ÉQUATIONS LINÉAIRES. iÔg

de 77-» •••» -^f-k ^" effet, si celte proposition est établie

pour le nombre /r, elle sera encore vraie pour A: -4- i ; car on aura

dt''^' du

Substituant ces valeurs dans Féquation proposée, on aura pour déterminer x en fonction de u une équation linéaire à coeflicients constants.

Si Téquation caractéristique correspondante a ses racines inégales, Tintégrale générale sera de la forme

S'il y a des racines multiples, à chacune d'elles, s^^ correspondra comme solution une expression de la forme

e'.»(C 4- Cl // 4- ... -h C;x-i "•*"')