Considérons une équation linéaire sans second

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dont les coefficients soient uniformes en / et niaient que drs points critiques isolés.

Nous avons vu (H9) que la forme générale de ses intégrales est la suivante

OÙ C|, ...,0/1 sont des constantes, et ^1, , . .^ Xn un système quelconque de n intégrales indépendantes. Nous savons

en outre (92) que ces intégrales n*ont pas d'autres points critiques que ceux des fonctions pi, • . • , p„.

Cherchons comment se comportent ces intégrales lorsque la variable indépendante t tourne autour d'un de ces points critiques, que, pour plus de simplicité, nous supposerons situé à l'origine des coordonnées.

L'intégrale considérée x varie avec ^, mais sans cesser de satisfaire à l'équation dififérentielle. Lorsque t revient à sa valeur initiale, p\, • » ■ ^ pn reprenant également leurs valeurs initiales, l'équation dififérentielle redevient ce qu'elle était primitivement; et l'intégrale transformée, devant satisfaire à cette équation, sera de la forme

En particulier, soit xi l'une quelconque des intégrales indépendantes j:,, , . ,, Xn\ elle sera transformée en une expression de la forme

C(^ ^1 4- ... -f- Cin ^n y

de telle sorte que la rotation de / autour de l'origine aura pour résultat de faire subir aux intégrales x^, . . . , Xn une substitution linéaire telle que

Xx c,, ^1 4-. . .-f- c,«jr

Le déterminant des coefïicienls c sera d'ailleurs différent de zéro; car, s'il étail nul, les intégrales transformées seraient liées par une relation linéaire, qui continuerait d'avoir lieu en faisant rétrograder t en sens contraire de son mouvement primitif. La même relation subsisterait donc entre les intégrales primitives X|, ..., Xn-, contrairement à l'hvpothèse faite, que ces intégrales sont indépendantes.