Soit
yn^^nxOC 4-...4-a„„a?„
ÉQUATIONS LINfiAIRBS. 171
UD autre système quelconque d'intégrales indépendantes. La substitution S, opérée sur les x^ remplacera les j^ par d'autres fonctions linéaires des x^ ou, comme les x s'expriment linéairement au moyen des y, par des fonctions linéaires desj'.
La rotation autour de l'origine aura donc également pour efiet de faire subir aux y une substitution linéaire. Nous pouvons nous proposer de profiter de l'indétermination des coefficients a pour simplifier le plus possible l'expression de cette substitution.
Cherchons tout d'abord s*il existe quelque intégrale
qui se reproduise multipliée par un facteur constant. f. Il faut pour cela qu'on ait
= 5(2,0-54-.. . -h «/i ^« ) ; d'où les équations de condition
(c,,--5)ai4-Cçiaj
. . .4-C„,a^ = 0, . . . -f- Cfi^ 3t,| m O^
\ C,„a, -|-Cj«a,H-. ..-h (C,,„— 5)a„=::0.
Les coefficients a,, . . . , a/i ne pouvant être nuls à la fois, il faudra que le déterminant caractéristique
Cu — s
îl
^li ^îi *
Ct,
• • • ^nn ^
s'annule.
Supposons d'abord que l'équation A = o ait n racines inégales 5|, ..., 5^. Soit 5/ l'une d'elles. En la substituant dans les équations (i) elles deviendront compatibles et détermineront les rapports des coefficients a. Il existera donc
une fonction^/ qui se reproduira multipliée par 5/. D*aIIleurs les n fonctions y% ,..., ^/i ainsi obtenues sont indépendan tes ; car, si elles étaient liées par une relation
la même relation devant subsister constamment entre leurs transformées, on aurait, en faisant faire n — 1 révolutions successives autour de Torigine à la variable tj
^i-5| Ji -+-••• H- <^« *//>•/!
^i^î *J H-...-HC/i^r'j«---^>
équations incompatibles, car le déterminant
Sx
cr
n^est pas nul, s^^ s^, ..., Sn étant inégaux; et, d*autre ps^rl, les intégrales C|^i, . . . , Cnyn ne peuvent être toutes nulles. Donc, en choisissant ^1, ..., yn comme système d'intégrales indépendantes, la substitution S prendra la forme très simple
yn ^n y n
142. Si nous avions choisi un autre système quelconque dUntégrales indépendantes, tel que 3|, . . . , Zny la substitution S aurait pris une forme telle que
^1 "II -^1 ^~- • • "H «1/, ^rt
^n "rtl *^l "^ • • • ~^" "//« ^n
j-, , . . . , jK/i deviendraient des fonctions linéaires de 2| , . . . , c^. lesquelles se reproduisent respectivement multipliées par
Ces miillipHcateurs devront satisfaire à l'équation
^n— -5 d^i ... dni dit d^i—s ... d„i
din difg ... d„n — s
Cette équation doit donc être identique à l'équation A == o, qui a les mêmes racines. On voit donc que les coefficients de Féquation en s ne dépendant pas du choix des intégrales indépendantes : ce sont des invariants.
143. Les résultats sont un peu plus compliqués lorsque l'équation en 5 a des racines égales. Nous allons établir la proposition suivante :
On peut toujours trouver un système d'intégrales indépendantes formant une ou plusieurs séries y^, . . . , y„t ; y\f •••» ym'y ••• ^^'fe* yw^ S remplace les intégrales d'une même série, y ^^ . . . , y^, . . . , >*,« respectivement par
Siy^j ..., Si{y^-hyp^^), ..., */0';/iH-J//i-i), Si étant une racine de V équation caractéristique.
Ce théorème étant supposé établi pour les substitutions à moins de n variables, nous allons démontrer qu'il subsiste pour une-substitution S à /i variables.
Soit S\ une des racines de l'équation caractéristique. Il existe une intégrale y que S multiplie par s^. En la prenant pour intégrale indépendante à la place d'une des intégrales primitives X\^ S prendra la forme
X2, ..., X« étant des fonctions linéaires de jt^, ..., Xa^ et aura pour déterminant caractéristique
(.Ç,~5)A':zz:A,
A' désignant le déterminant caractéristique de la substitution
