CHAPITRE II
Nous pourrons par hypothèse changer de variables, de manière à mettre S' sous la forme
^it • • • 1 y m ^iy\ » • • • > ^iKym "^ ym~\) r'iy • • • » /m' *i'7i ^/' (//n' -+" /m'- 1 )
011 5/, Si', . . . sont des racines de A'= o.
Ce même changement de variables, opéré sur S, la réduira à la forme
ri»
y \i • • • » y ni
x',7, ...,5/'(/„,'-Hj;„'.,)
Changeons de variables en posant
yk 4- «^ r == Yjk.
S remplacera Y| , . . ., Y;^, . . . par ^i7i -+- ^i7-+- «1^1/ — ^/Yi-t- fx,j,
x:nj
^1(7*+ n-i) -H >^*.r -+- ^kSiy — ^/(Yx-h Ya-,) -+- 1XJ5.7,
en posant, pour abréger,
Xj-h a,(5, — 5/) = ix,,
X* -+- «aC^i — - Si) — ^k-\ Si= [A;,.
La substitution S aura donc conservé sa forme générale; mais on peut disposer des indéterminées ai, . . ., aj^, . . . de manière à annuler tous les coefficients [x si 5|^5/, tous ces coefficients, sauf le premier (X|, si St = 5/.
Nous pourrons faire disparaître de même les coefficients).' (sauf le premier, si 5/v=^ 5|).
Nous pouvons ainsi ramener S à une forme IcUe que la
ÉQUATI01f& UlfÉAIBES.
saivanle :
. . . , Zp'
.Çj Y, 4- ii|/, . . . , 5, ( Y
^iY',4- ji', X, ..., .ç,(y;
5,Zi,
, 5, (Zp -H Z„,)
144. Supposons que, parmi les coefficients [X| , [a'^ , ... que contient encore cette expression, il en existe au moins deux (X| et [x'f qui ne soient pas nuls, et soit, pour fixer les idées, m'^ni. Prenons pour intégrales indépendantes, à la place de Y', , . . ., YI„ , les suivantes :
S remplacera évidemment U4, ...» Ua, . . . par
de telle sorte que le terme ^^y aura disparu.
On pourra ainsi faire disparaître tous les termes en y^ sauf un seul, tel que |X|j>^.
Supposons donc que [Ji,,... soient nuls. Si [Ai<o, on n^aura qu'à poser
pour ramener S à la forme canonique cherchée
Yo> Yj, .
Y Y' • • > • ■ » • Zj, Zj, .
Si fX| était nul, S aurait déjà * la forme demandée, la première série de variables étant formée de la seule variable y.
176 TR0181ÈIIB PARTIE. — CHÀPITRB II.
145. La substitution S étant ramenée à la forme canonique que nous venons d^indiquer, soient j'o^J'i? •••>^a une des séries formées par les nouvelles intégrales auxquelles elle est rapportée ; 5 la racine correspondante de Téquation A = o.
Proposons-nous de déterminer la forme générale de ces intégrales.
Posons, pour abréger, — ^.log^ = /• et faisons
les z étant de nouvelles inconnues. Lorsqu^on tourne autour de l'origine, f se reproduit multiplié par e^'^"':=5; donc les z devront subir Taltération suivante :
Pour trouver la forme générale des fonctions qui jouissent de celte propriété, nous remarquerons que la fonction
— Aost s^accroît de Tunité par une rotation autour de Tori-
giue. Si donc nous posons
^»=ï^-^^^'» "" ^'^ n^—Jc '
cette rotation changera 0, en 0| + i et, plus généralement, 6t
en
^OA-hO^..^.
Qi(Oi--i)...(0| — A-4-0 1 . 2 . . . /i
Posons maintenant
-*= 0^ Mo 4- 0;t i Wj 4- . . . 4- li;,y
//o, {^1 , . . . , ii/t étant de nouvelles fonctions. Pour que Zq^ . . .,
EQUATIONS LINÉAIRES. I77
5k subissent la transformation demandée par une rotation autour de l'origine, il sera nécessaire et suflisant que u^^ . . ., itk restent invariables.
On obtiendra donc, en remplaçant les fonctions 6|, . . ., Oj^ par leurs valeurs en /, pour les intégrales cherchées j'o» •••! /A> des expressions de la forme
j, =:r(M,log/-+-NO,
Mqj M{, ..., N|, ... étant des fonctions monodromes aux environs de l'origine. Ces fonctions s*expriment, d'ailleurs, linéairement au moyen des k -\- i fonctions distinctes Wq^ • • •? Uk' En particulier, les fonctions Mo, M|, . .., Ma de la première colonne ne diffèrent que par des facteurs constants.
146. Les fonctions monodromes Mo, Mf, N^, ... seront développables en série suivant les puissances positives et négatives de t. Si la série des puissances négatives est limitée pour toutes les fonctions qui figurent dans une des intégrales ci-dessus, celte intégrale sera dite régulière aux environs du point / = o.
11 est intéressant de reconnaître dans quel cas l'équation proposée admet un système d'intégrales indépendantes toutes régulières. M. Fuchs a établi à cet égard le théorème suivant :
Pour que réqucUion
admette n intégrales indépendantes régulières aux environs du point tz=n, il faut et il suffit que, pour chacun des coefficients de U équation, tel que pi^ le point t = o soit un point ordinaire, ou un pôle dont f ordre de multiplicité ne surpasse pas /.
J. — Cou/ s, 111. 13
TROISIKMB partie. — CHAPITRE H.
Démontrons d^abord que cette condition est nécessaire. Il est manifeste, en premier lieu : i® que toute expression régulière, telle que
r(Mlog'^-4-Nlog'-'^
a une dérivée
rf-(Mlog'^-h...-4-R)
iMlog'-»/
'log'/-f:...)
également régulière; a° que lout produit d'expressions régulières est une expression régulière.
Si donc les intégrales ^i, . . ., j^/i d'une équation d'ordre n sont régulières, les coefficients de l'équation, mi<(e sous la
l'orme
J7« JÎ
seront des sommes d'expressions régulières, telles que (2) r(Mlog'^-h...)-+-^'''(M, log^^'-H.. .) 4-
D'ailleurs, lorsque t tourne autour de l'origine, yt^ . . .^y» subissant une substitution linéaire, leurs dérivées d'un ordre quelconque subissant la même substitution, les coefficients, qui sont des déterminants formés avec ces quantités, se reproduiront multipliés par le déterminant S delà substitution.
Or, pour qu'une expression de la forme (2) jouisse de cette propriété, il faut manifestement que les logarithmes disparaissent et que les exposants r, ri , . . ne diffèrent de la
quantité — :log8 = ^ que de nombres enliers. Les coefficients de l'équation seront donc de la forme ^PP, P étant une fonction de la même espèce que M, M|, ..., c'est-à-dire a^^ant un point ordinaire ou un pôle au point / = o.
Si maintenant nous divisons l'équation par le coefBcieut
de la plas haute dérivée, t? disparaîtra et il viendra
les coefficients /7| , . . . , pn étant des quotients de fonctions pour lesquelles / = o est un point ordinaire ou un pôle, et jouissant évidemment de la même propriété.
Il reste à montrer que Tordre de multiplicité du pôle ^ = o pour le coefficient /7| ne peut surpasser i.
