Posons à cet effet

\ étant une nouvelle variable et T une fonction de t qui soit de la forme

T--zzC^P-|-Cj^P^*H-

Nous obtiendrons une équation transformée

dt''

dt''-*

OU. en divisant par T,

dF-^rT-^'Vdï^

npi

-+-... :zz O.

Si l'équation primitive a ses intégrales régulières, il en sera de même de cette nouvelle équation, dont les intégrales s'obtiennent en multipliant les précédentes par l'expression régulière

- —t-?{d'\'dil-h...).

D'autre part, ^ = o étant un pôle d'ordre i pour y'

l8o TROISIÈJIE PARTIE. — GHÀPITRB II.

d'ordre 2 pour •=-,•••> on voit que, sî ce point est un pôle

d'ordre k au plus par rapport à chaque coefficient pk de Téquation primitive, la même propriété subsistera pour l'équation transformée.

Réciproquement, si l'équalion transformée jouit de cette propriété, l'équation primitive, qui s'en déduit par la substitution

la possédera également.

Il suffira donc, pour établir le théorème pour Téquation primitive, de le démontrer pour l'équation transformée.

Cela posé, il résulte de l'analyse du n^ 145 que l'équation en X admet nécessairement au moins une intégrale ^'0 = ^^Mq dépourvue de logarithmes. Cette intégrale étant régulière, par hypothèse, sera de la forme (3). En la prenant pour T, la transformée en Ç, admettant comme intégrale la constante 1 , ne contiendra pas de terme en \ et se réduira à la forme

Posant -r = $', on aura l'équation d'ordre n — i

dont les intégrales, étant les dérivées de celles de la précédente, seront encore régulières. Si donc le théorème est supposé vrai pour les équations d'ordre n — i, /= o sera un pôle d'ordre k au plus pour qk- Le théorème sera donc vrai pour l'équation en Ç et pour l'équation primitive en x,

11 suffit donc d'établir le théorème pour les équations du premier ordre. Or soit

(Le

fiQUÀTIOIfS LINÉÀlliBS. l8l

nne semblable équation ^ si elle admet une intégrale régulière, elle sera de la forme

Or, si ^=: o est pour/7| un pôle dont Tordre (x de mulliplicîté soit >- 1, de telle sorte qu'on ait

et qu'on substitue pour j; une valeur de la forme T, le résultai de la substitution contiendra un terme act~V-'^'' de degré moindre que tous les autres et qui ne pourra se réduire avec cux^ donc il ne pourra pas exister d'intégrale régulière.

148. Réciproquement, nous allons établir que toute équalion diflérentielle qui satisfait aux conditions énoncées a n intégrales régulières.

Multiplions Téqualion par t" ; il viendra

'dF

-\-pit.t

'dF^

L'origine étant, par hypothèse, un point ordinaire pour les (onctions p^l, p 2 1^ y ..., on pourra écrire

Soit p, un rayon de convergence commun à ces séries;

OB aura

M désignant une constante.

Si nous substituons dans le premier membre de l'équation proposée la valeur x = f, nous obtiendrons le résultat suivant

F(r)r-f-c),(r)r^-i-f-cp2(r)r-^»H-...-=4»(/,r)r

l8a TROISIÈIIB PàBTIB. — GHàPITBB II.

en posani, pour abréger,

r(r— -i)...(r— n4-i)4-aor(r — i)...(r — /i-!-2)

4- 6mr(/- — i). . .(r — /i -h 3) 4-. . .= <pm('')- En substituant la valeur

on obtiendrait évidemment comme résultat

— r4»(/, /•)rir:*rlog^^-f-X3-rlog^-«^

dr Or