F'(a.-+fx)cjH-cp;(a-f-fx

OcJ-

,-+-cp;(x-+-{x-

F (a-htx)c'j,-+-«p,(a-f-(x

■2)Cpt-i

-h 2 [F'(« -h (x)cjt-h©'i(a -h {X ~ 1

-^3[F'(a + jx)c;:4-cp;(aH-|x-i

F(at-i-(x)cjj,-h?,(a-h!x

O^ix-

,-h<p,(a-hîx

-i-F'(«H-|x)cJjL-l-'f',(a-h;x —

-2)cji

-+-F'(a -+- fx)c;-h ^'(a -f- jx-i

-hF^'Ca-h {x)cj-h?7(a4- (JL — 1

2 ) C(jL-|

. mo,

Dans les deux premières équations, on aura à donner à |a toutes les valeurs de i à oo , dans les deux dernières toutes les valeurs de o à oo ; d^ailleurs les séries qui forment les premiers membres se limiteront d'elles-mêmes, ceux des coefficients (f^ c'" dont l'indice serait -< i et ceux des coefficients c, c' dont rindice serait < o étant identiquement nuls.

Pour toute valeur de (x supérieure à /, F(a 4- (x) étant ^ o^ ces équations donneront cj[, cj^, cj^, c^ en lonction des coefficients d'indice moindre. Pour [x = t les deux premières équations deviennent identiques, car elles se réduisent à

F(a4-i)c7=ro, F(a-+-t>'-^3F'(aH-l)c7=o;

et a -i- 1 étant racine double de l'équation déterminante, F(a-hi) et F'(a 4-0 s'annulent; mais F" (a 4- i) étant ^o, les deux dernières équations détermineront cj, c].

l84 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.

Si « > (X > o, il ne reste plus que deux équations qui déterminent c^, Cu en fonction des coefCcients précédents. Enfin, pour |x = o, ces équations deviennent identiques. La détermination des coefficients peut donc toujours se faire, et il en reste quatre arbitraires, à savoir c), c,, c^, Co»

ISO. Il reste toutefois à prouver la convergence de la série obtenue. Pour l'établir, nous remarquerons que F(a-f-[x) étant un polynôme en (x d'ordre n les valeurs de cj^, . . ., c^ en fonction des coefficients précédents fournies par les équations (5), lorsque ijl> i, seront delà forme

-^ PiAv?x (* -f- ;x - À ) -4- . . , -+- P3*v?x(a "+- (^ — >0]^Ïl-X (À zir I, 2. . . . , [X, v=iO, 1,3,3),

PoAvy • • • 9 I^3vA étant des fonctions rationnelles en |a, dont le dénominateur est d'un degré au moins égal à celui du numérateur (et dont quelques-unes sont nulles).

Nous obtiendrons évidemment une limite supérieure du module des coefficients cherchés en remplaçant les fonctions P» ?x(3t H- [J^ — ^)) etc., et enfin les coefficients c^x par des limites supérieures de leurs modules.

Or les fonctions P tendant pour (x = oovers des limites déterminées, leurs modules seront constamment inférieurs a une quantité fixe 0|.

Nous obtiendrons, d'autre part, une limite supérieure du module de Texpression

ox(a-+- (A — X)

riraxCa-t-H"- — ^)(^-^lJ^ — ^ — 0...(5t-HîA — X — /H"2) -}-^(a-hfi— X)(x-f-fx— X — i)...(aH-|x — X — /1-+-3)

en remplaçant ai, bx, ... par la limite supérieure de leurs modules -y et les facteurs a -|- jjl — A, ... par [ a | H- ui -h /i.

ÉQUATIONS LINÉAIRES. l85

On trouvera ainsi

I?X(« H- l* - X)|^-t[(| « I -+- îx 4- /i)"-» -f- (ja|4- fx -h /J^-'-f- . . .

O2 désignant une quantité limitée.

Le même procédé donnera

0 désignant une quantité fixe.

O'tte formule n'est établie que pour les coefficients donl rindice inférieur surpasse î; mais, les précédents étant en nombre limité, on pourra toujours prendre 0 assez grand pour qu'elle soit encore satisfaite pour ceux-ci.

Faisons successivement A* =2= o, 1,2^ 3, ajoutons et multiplions par pi*; enfin posons, pour abréger,

9^{\cy,\'^\cl,\-hc;,\-h\c';\)^dy,; il viendra

et, en changeant (x en (x 4- 1 ,

lS6 TROISlftHB PARTIE. — GQAPITBE II.

et. en continuant ainsi,

En posant m = oo , la série entre parenthèses est convergente, pourvu qu'on ait pris [X ^ 4^1 les quantités </oi ^1» •••» e/(i, . . . sont donc toutes inférieures à une limite finie N. A fortiori, chacune des quantités

restera < N ; donc la série (4) sera convergente dans un cercle de rayon p.

15i. Si la valeur de c'J déduite des équations (5) s'annule (il faut pour cela qu'un certain déterminant, qu'il serait facile d'écrire, soit égal à zéro), tous les coefficients c^, qui s'expriment linéairement en fonction de celui-là, s'annuleront également, de sorte que tous les termes en log'^ disparaîtront de l'expression (4).

Si l'on a en outre c*= o, les termes en log^^ disparaîtront aussi; mais, c'^ et c\ étanl arbitraires, il restera toujours des termes en log^.

Pour que les logarithmes pussent disparaître entièrement de l'intégrale, il serait évidemment nécessaire que la série de racines que nous avons considérée ne contînt que des racines simples.

Remarquons enfin qu'il peut se faire que les racines de l'équation déterminante soient des entiers positifs et que les intégrales ne contiennent pas de logarithmes. Dans ce cas, le point ^ = o ne sera pas un point critique pour les intégrales.

Ainsi l'équation

t-^ -h(— m4-ai/-h ai^=-4-.. .)a? = o, où m est supposé entier et positif, a pour équation détermi-

nante

et son intëg^rale sera de la forme

152. Nous venons d'établir que, lorsque Téquation diflTérentielle proposée a toutes ses intégrales régulières, on peut les obtenir par la méthode des coerficients indéterminés. Sachant d'ailleurs que, lorsque t tourne autour de Torigine, f se reproduit multiplié par e"^' et logf se change en log^ + 2 ICI, on voit aisément, par la comparaison des développements obtenus, quelle est la substitution que cette rotation fait subir aux intégrales.

153. La question se présente moins simplement dans le cas général où Téquation différentielle admet des intégrales irrégulières, car on ne peut les obtenir par la méthode des coefficients indéterminés. On peut employer dans ce cas le procédé suivant :

Traçons trois cercles K, K', K'' se croisant à Torigine {fis* 0 ^^ d'un ravon assez petit pour ne contenir aucun des autres points critiques. Soient a, a\ ci' les centres de ces cercles.

Fig. I.

Soit, d'autre part, X|, . . ., X;, un système de n intégrales indépendantes. On peut supposer que chacune d'elles est définie par la valeur qu'elle prend, ainsi que ses n — i pre-

l88 TROISièXB PARTIB. — CHAPITRE II.

mières dérivées en un point t =^ b pris à volonté dans le cercle K.

Tant que f, partant de cette valeur initiale, restera compris dans le cercle K, Tintégrale générale de Téquation sera de la forme CxX^-{- , . .-{^ Cn^n'i ^\i -••^Xn étant des séries convergentes procédant suivant les puissances de / — a et Cf y . , . j Cn des constantes. On aura donc, tant que / restera dans ce cercle,

(6) X/=Cj/a?i-+-. . .H-Crt/j?„.

En exprimant que le second membre de cette égalité et ses n — I premières dérivées prennent au point b les valeurs qui définissent X/, on aura un système d^équations linéaires qui détermineront les coefficients c.

Supposons que / sorte de ce cercle pour entrer dans le cercle suivant K'. Dans ce second cercle les intégrales sont développables suivant les puissances de / — a' et auront pour forme générale

y,, ,..,y„ étant des séries, qu'il est aisé de calculer parla méthode des coefficients indéterminés. On aura donc, en particulier,

( 7 ) X/ = diiVi H- ...-+- ^,,1 X/.

et ce nouveau développement fera connaître la valeur de X; dans tout l'intérieur du cercle K', lorsque les coefficients rfii-, . . . , c/„i seront connus.

Pour les déterminer, il suffit de remarquer que, dans la partie commune aux deux cercles, les deux développements (6) et (7) étant valables à la fois, on aura

et par une série de dérivations successives

CiiX\ -h...-hC„iX'^ z=iduy\ -H '-^dni/nt >

c,/j?î-» 4- ... -h c„. j?;-» — du}T' 4- ... -H dntyV"'

ÉQUATIONS LINfiAlRBS. 189

Eln donnant à t une valeur particulière arbitrairement choisie dans cette région commune, on obtiendra un système (Inéquations linéaires qui donnera les coefBcients d.

Si t passe du cercle K.' dans le troisième cercle K^, X|, ..., Xj, y seront donnés par de nouveaux développements

suivant les puissances de ^ — a"'^ z^. , . .^ z„ étant des séries aisées à établir, et eu*, .. ., Cni des coedGcients qu^on délerminera au moyen de Téquation

et de ses dérivées, en donnant à / une valeur comprise dans la région commune à K' et à Kf.

Enfin, si tj achevant sa révolution autour de Torigine, sort du cercle K" pour rentrer dans le cercle K, on aura dans ce nouveau cercle

les coefficients /se déterminant encore de même.

En comparant ces valeurs finales de X|, . . ., X;, à leurs valeurs initiales (6), on voit que la substitution produite sur les intégrales par une révolution de t autour de Toriginc sera

les constantes g étant déterminées par les équations li« néaires

j'ki^guCkï-^-' ' '-^ gniCkn {h A' = :,2, . . .,/l).

Cette substitution étant connue, on la ramènera aisément à la forme canonique en changeant le système d'intégrales distinctes que Ton considère.

Les nouvelles intégrales formeront une ou plusieurs séries. Soit (Yo, . . , Ya) Tune de ces séries. Ccs'iiilégrales auront

i^ TROISIÈME PARTIE. -- CHAPITRE H.

(145) la forme suivante :

( Y^i=r(e^Mo-+-ex-,w, 4-... ■+-«*)

Tout est connu dans ces développements, sauf les fonctions monodromes Uoj • . • > i^a* Mais, en chaque point de la région occupée par les cercles K, K', K*', on connaît par les développements précédents la valeur numérique des intégrales X| , • . . , Xff et par suite celle des intégrales Y| , . . . , Ya. Les équations (8) permettent d'en déduire celle de i/o, • • -^ ^k- Le théorème de Laurent (t. II, n® 326) fournira dès lors les coefficients des séries, procédant suivant les puissances positives et négatives de t, qui représentent ces fonctions.

154. Des considérations analogues à celles qui viennent d'être exposées permettront d'intégrer par des séries toute équation linéaire qui n'a qu'un nombre limité de points critiques.

Soit, en effet, F := o une semblable équation. Il nous sera permis de supposer, pour plus de simplicité, que t = ao esi un point ordinaire; car, s'il en était autrement, soient tt, t2t . • • les points critiques situés à distance finie; b un autre point quelconque ; posons

L*équation transformée en u admettra évidemment pour points critiques le point u = <>, correspondant à / = oo , et

les points Ui ~ r» 11^= , » • • • correspondant à /|,

/2, ... ; mais ^/ = 00 , correspondant k t = b, sera un poiul ordinaire.

Cette hypothèse admise, traçons un cercle K enveloppant tous les points critiques ^1, t^^ . . ., ti, A l'extérieur de ce cercle l'intégrale générale aura la forme

(9) Cjj:,4-...-+-c„X;,

Xij ...j Xn étant des séries qui procèdent suivant les puissances de -•

Il est clair, d'autre part, qu'on pourra toujours recouvrir rintérieur de K et les portions voisines de la région extérieure air moyen d'un nombre limité de cercles Ki^Ka, . . ., dont chacun peut passer par un ou plusieurs points critiques, mais n'en contient aucun dans son intérieur, tout autre point situé sur K ou dans son intérieur étant au contraire intérieur à l'un au moins de ces cercles K|, K2, ....

Soient Km Tun quelconque de ces cercles, am son centre. Dans l'intérieur de ce cercle, l'intégrale générale aura la forme

Xmi, ' ' "> Xmn étant des séries procédant suivant les puissances

Traçons maintenant une série de coupures L|, L2) ••• allant de chacun des points critiques /|, ^29 ••• jusqu'à Tinfini. Tant que t ne traversera aucune de ces coupures, les intégrales de Téquation resteront monodromes. Soit X|, . . ., X;, un système quelconque d'intégrales indépendantes, Chacune d'elles sera définie en un point quelconque par Tun ou l'autre des développements (9) ou (10) parmi lesquels il y en a au moins un de convergent. Les coefficients c qui figurent dans ce développement pourront d'ailleurs se déterminer comme au n^ 153. La valeur de ces intégrales sera donc connue en chaque point du plan coupé.

D'ailleurs, lorsque i tourne autour d'un des points critiques, ces intégrales subissent une substitution linéaire que nous savons déterminer. Supposons donc que / se rende de la valeur initiale /o à une valeur finale quelconque T. Pour obtenir la valeur finale des intégrales X|, . . ., X;,, il suffira de réduire le chemin parcouru par la variable à une série de lacets A', . . . suivis d'un chemin A qui ne traverse plus les coupures. Lorsque / reviendra au point de départ to après

192 TROlSifcME PARTIE. — GDAPITRE II.

avoir décrit le lacet A, les intégrales auront subi une substitution linéaire connue S; le lacet A' leur fera subir une seconde substitution S', etc. L'ensemble des lacets A, A^... successivement décrits leur fera donc subir la substitution résultante SS' . . . , de telle sorte que les intégrales auront passé de leurs valeurs initiales X|, . . . , X^ à des valeurs finales X', , . . . , XJj de la forme

X/= '^i/Xi H- . . . -i- An{Ji„,

Lorsque / décrira ensuite la ligne A, ces expressions varieront et prendront en T les valeurs suivantes

A|/^-l -1- . . . -t- i^m^^nf

S| , . . . , S;i étant les valeurs finales de X 1 , . . . , X/,, lesquelles sont données sous forme de séries, ainsi que nous l'avons vu. On peut donc déterminer a priori la valeur finale d'une intégrale quelconque lorsque la variable t décrit une ligne donnée, sans être obligé de calculer la série des valeurs successives par lesquelles elle passe, pour les points intermédiaires.

155. La méthode précédente est susceptible de nombreuses modifications, si Ton admet, pour représenter les fonctions intégrales, d'autres développements que ceux qui sont fournis par la série de Ta^'Ior. Supposons, par exemple, que, parmi les points critiques, il y en ait aux environs desquels les intégrales soient régulières.- On pourra évidemment substituer à quelques-uns des cercles dont nous nous sommes servis des cercles décrits autour de ces points critiques (pourvu qu'ils ne contiennent dans leur intérieur aucun autre point critique); car on connaît un développement des intégrales dans ces cercles, et cela sufBt.

On peut encore, dans beaucoup de cas, transformer Téqnation différentielle par un changement de variable

( — o(m), d'où u = ^{t).

Soit a un point ordinaire de Féquation transformée : on

ÉQUATIONS UNfiAIRBS. ipS

aura an développement de ses intégrales suivant les paissauces de u — a, lequel sera convergent tant que le module de tf — a sera moindre qu^une constante donnée r. Les intégrales de Téquation primitive admettront un développement correspondant suivant les puissances àe i^{t) — ^{à)^ valable dans toute la région du plan où

\W)-Ha)\<r, lequel développement pourra être utilisé au besoin.

156. Nous avons vu que, lorsque la variable t revient à sa valeur initiale ^o» après avoir décrit un contour fermé quelconque, les intégrales X|, ..., X;, subissent une substitution linéaire. Considérons Tensemble de ces substilutioiis S, S', ... correspondant aux divers contours fermés possibles K, K', Il est clair que, si S, S', ... sont deux de

ces substitutions, correspondant respectivement aux contours K, K', on obtiendra, en décrivant successivement ces deux contours, un nouveau contour fermé K.K' auquel correspondra la substitution SS', résultante des deux premières. Cette dernière substitution fera donc elle-même partie de la suite S, S', . . ..

On dit qu'une suite de substitutions forme un groupe lorsqu'elle jouit de cette dernière propriété.

Nous appellerons groupe de Inéquation différentielle

celui qui est formé par l'ensemble des substitutions S, S',

Toutes ces substitutions résultent évidemment de la com binaison successive des substitutions correspondantes aux lacets relatifs aux divers points critiques.

157. La notion de ce groupe est d^une grande importance dans toutes les questions qui se rattachent à Tétudc des équations qui nous occupent. Nous allons, par exemple, montrer comment on peut recoanaître, à Finspectlon du groupe de Téquation différentielle

J. — Cours, III. i3

IQA troisième partie. — CHAPITRE II.

si elle est réductible ou non, c^est-à~dire si elle admet ou non des solutions communes avec une autre équation

à coefficients uniformes, où m^n.

Formons les dérivées successives de G ^ il viendra

Tt ~~ 'dP^^ "^ ^' 'dt^ "*" ^' rfr"^» "^

df'"' "" "dF "*~ ^* df"-^

et, en tirant de ces équations les valeurs de -^7^» **** 5r

pour les substituer dans F, il viendra

A| , . . . , A^n-m étant des fonctions uniformes de /, et G| une

d"'-'^x dx

fonction linéaire de ;i77;îzt' ' "' 17' ^^ ^ coefficients uni

formes en /.

Les solutions communes à F = o, G =: o sont évidemmenl les mêmes que les solutions communes à G = o, G| = o.

Donc, si G| est identiquement nul, réquationF=o admettra toutes les intégrales de G, et son premier membre sera une fonction linéaire de G et de ses dérivées.

Si G| n^est pas identiquement nul, mais ne contient

aucune des dérivées de x, on n'aura G< = o qu'en posant

.X = o. En dehors de cette solution évidente, les équations

F= o, G = o n'auront aucune intégrale commune.

on pourra opérer sur les équations

G = 05 ^Gi = o,

ÉQUATIONS LINÉAIRES. lo5

comme sur les équations primitives, et en déduire une nouvelle équation 62=0, à laquelle les solutions communes devront encore satisfaire.

En poursuivant cette série d^opérations, toutes semblables à celles du plus grand commun diviseur, on arrivera évidemment à ce résultat *

Si deux équations linéaires F = o, G = o, à coejftcients uniformes, ont des intégrales communes, on pourra déterminer une équation de même espèce H = o, ayant pour intégrales ces solutions communes; et F, G seront des fonctions linéaires de H et de ses dérivées.

Donc, si Téquation F=o est réductible, il existera une équation d^ordre moindre, H = o, dont elle admet toutes les intégrales.

158. Cela posé, soient X|, ..., X/, un système quelconque d'intégrales indépendantes de F=o, Y,, ..., Y;,, un système d'intégrales indépendantes de H = o. Les intégrales de cette dernière équation auront pour forme générale

^1 I I -f- . . .-\- C,fi I ,;|

et se permuteront les unes dans les autres lorsque /décrit un contour lermé quelconque. D'ailleurs Y^, ..., Y;,,, étant des intégrales de F=o, seront des fonctions linéaires de A| , . . • , A/|.

Donc, si F=o est réductible, on pourra déterminer des fonctions linéaires Yi, . . ., \n des intégrales X|, . . . , X/,, en nombre <^n e\. telles que les fonctions du faisceau

C*| I j — }- . . . -\- C,fi T

soient exclusivement permutées les unes dans les autres par toutes les substitutions du groupe de Téquation F= o.

Nous exprimerons, pour abréger, cette propriété du groupe de Téquation en disant qu'il n'est pdiS primaire.

Réciproquement, si le groupe de l'équation F:= o n'est

196 TROISlèMB PARTIR. — CHAPITRE 11.

pas primaire, Tëquation sera réductible. En effet, les intégrales Y|y . • . , Y m satisfont à Téquation d^ordre m

df"

dont les coefficients sont monodromes (après qu'on a divisé par le coefficient du premier terme). En effet, faisons décrire à / un contour fermé quelconque. Les fonctions Y,, . . ., Y;„ étant transformées en des fonctions linéaires de Y, , . . . , Y;,,, les déterminants qui forment les coefficients de Téquation se reproduiront multipliés par le déterminant de la transformation. Leurs rapports reprendront donc la même valeur.

Pour reconnaître si Téquation F= o est irréductible, nous n'aurons donc qu'à chercher si son groupe F est primaire.

159. Soient S, S', ... les substitutions relatives aux divers points critiques, et dont la combinaison reproduit F. Si chacune d'elles multiplie toutes les intégrales par un même facteur constant, il est clair que toutes les substitutions de F jouiront de cette même propriété et que ce groupe ne sera pas primaire.

Supposons au contraire que, parmi les substitutions S, S', . . . , il en existe au moins une S qui ne multiplie pas toutes les intégrales par un même facteur. Prenons à la place de X|, . . . , X„ un autre système d*intégrales indépendantes, choisi de manière à ramener S à la forme canonique. Supposons, pour fixer les idées, que l'équation caractéristique pour cette substitution ait deux racines a, b\ qu'à la racine a correspondent quatre séries d'intégrales, dont trois contiennent k intégrales et la quatrième / intégrales, / étant <^Ar, et qu'à la racine b corresponde une seule série de

/intégrales; la forme canonique de S sera la suivante : /i» 7'î» ""^fk «(/i -+-7j), ^(/i -^-/J )»

-^i » -^j, . . . , Zi a{zi -\- Zi ) , a ( wi -H --3 ) ,

» ^'7i ., azf

Soit

Y| = ^|rl^-^l7l^-...-^e/;7;-|-...4-e,^l4-...-+-/lli|-^-...-^/,«/

une intégrale quelconque. EQectuons sur cette expression les transformations S, S', .... Nous obtiendrons de nouvelles expressions de la forme

où D^, Dj, ..., F/ sont des fonctions linéaires de rf|, rfj, ...,//.

Si parmi ces expressions il en est qui ne soient pas linéairement distinctes de clîIIos qui les précèdent lorsque rf|, di, . . .,// restent indéterminés, on pourra les supprimer et transformer de nouveau celles qui restent par les substitutions S, S', .... Parmi ces transformées on supprimera celles qui ne sont pas distinctes, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'une nouvelle transformation ne donne plus aucune expression distincte de celles obtenues précédemment. Celte suite d'opérations est nécessairement limitée, car toutes les fonctions obtenues sont linéaires par rapport aux produits en nombre limité qu'on peut former en multipliant les intégrales j^i y y 21 • • • î ^ii par les arbitraires d^ ^2? • • • ? /i«

Soient Y|, Y2, ... les diverses fonctions ainsi obtenues. Il est clair que toute substitution de F transforme les unes dans les autres les fonctions

Cl Y, -T- c%Y,H-. . .

du faisceau ^ formé avec ces fonctions.