Cela posé, cherchons à déterminer les arbitraires d

rfj, • • -7 /ô de telle sorte que dans chacune des fonctions Yi, Ya, ... les coefficients D|, D',, D", des termes en^,, y't^ Xx disparaissent. Nous obtiendrons ainsi une série dVquations linéaires par rapport aux arbitraires (f|, (^2) ""ifh

Supposons d^abord que ces équations soient compatibles. Assignons à rfi, rfa? •••»/«"" système de valeurs qui satisfasse à ces équations.

Les fonctions Y|, Yj, ... ne dépendant plus que des variables j'2, . . . , JKa, y., . . , y'k, y\. • -y/kl -I , • • • , Ui en nombre < n^ celles de ces fonctions Y,, . . . , Y m qui restent encore linéairement distinctes seront en nombre <^ n. D'ailleurs les fonctions suivantes Y^+n . • • s'exprimant linéairement au moyen de celles-là, toutes les fonctions de <^ pourront se mettre sous la forme

et, comme elles sont transformées les unes dans les autres par toutes les substitutions de F, ce groupe ne sera pas primaire.

161. Supposons, au contraire, que les équations soient incompatibles. Quelle que soit l'intégrale Y, qui a servi de point de départ, le faisceau 4>, déduit de ses transformées, contiendra une intégrale

Y— Dj/, -f- D'j/V -H ^\y\ -H l^ijt -^ ...-+- E, j, -h ... -i-Fi u^ 4- ...

où Tun au moins des trois coefficients Dj, D^, D", n'est pas nul. Il contiendra sa transformée par la substitution S; cette transformée, que nous désignerons par SY, est de la forme

SY r= D,a(^', 4-7«) -h...-!- E,rt(:;, -hSo) -h...-i-F, 6(w, 4- Wj) -î-..-

Le faisceau ^ contiendra encore la fonction

Y'=— !-,-(SY-6Y), a — 0

ÉQUATIONS LINÉAIRES. IQQ

OÙ les coeflScîents de y^, y\, y\ ont les mêmes valeurs que dans Yy mais où le coedicicntde Ut s'annule. 11 contiendra de même la fonction