Y" := SY' - 6 Y

où D|, D', , D', ont encore conservé leurs valeurs primitives, mais où le terme en e/^ disparaîtra.

Continuant ainsi, on voit que ^ contiendra une fonction de la forme

d'où les u ont entièrement disparu.

Il contiendra encore la fonction

d'où Xn^^n^'o ^1 ont disparu. Il contiendra de même la fonction

Z'z=^SZ'-Z'=zD,7,-^D;/3^-D;/3 + ...4-£i^3-t-.... Continuant ainsi, on voit que <^ contient la fonction

Donc, quelle que soit l'intégrale initiale Y|, il existe dans le faisceau ^, dérivé de ses transformées, une intégrale f de la forme plus simple

(il) o — dyk-^ d'y\-^d'y\.

Prenons pour point de départ celte nouvelle intégrale et formons le faisceau 4>' dérivé de ses transformées, lequel fait évidemment partie du faisceau ^.

Les fonctions qu'il contient seront de la forme

I>i7i -^- E)î7i -h ... -4- D;/, 4- ... -h Viitiy

aOO TROISlfcMB PARTIE. — CHAPITRE II.

OÙ les coeffîcients D|, ..., F/ sont linéaires et homogènes en dj d\ d!'. D'ailleurs, de toute fonction de cette forme contenue dans <^' on déduira, comme on vient de le voir, une fonction correspondante

également contenue dans ^'.

Formons successivement les diverses fonctions de cette dernière sorte qui sont contenues dans ^', en supprimant à mesure qu'on les obtient toutes celles qui ne sont pas linéairement distinctes des précédentes, même lorsque d^ d\ d" restent indéterminés. Il restera un nombre limité de fonctions

(.2) ( ?i = i>i7;^+E);rÂ.+ o;/A-,

dont toutes les autres sont des combinaisons linéaires.

Soit fa l^une quelconque de ces fonctions. Les cocffi— cicnls Da, Da, Da seront de la forme

Da==X d^Vd'-i-l'd', Ba = hd-hl\d'^\\d%

de telle sorte qu'on aura Ga désignant la substitution

Les opérations o- satisfont à Téquation sj^mbolique

9a<^^=z CQ^o-h Civ^-h . , .4- Cj^ajA, où Co, • . . , C{i sont des constantes.

ÉQUATIONS LINÉÀIRBS. aoi

En eOet, paisque de Pexistence de la fonction f dans le faisceau $ on déduit Texistence dans ce même faisceau des transformées CaÇ et o-^cp, on déduira de l'existence de cette dernière fonction celle de la fonction o'a^'pf • Cette fonction, ne dépendant d'ailleurs que des variables J^Ai^*? >']&> sera de la forme

162. Cela posé, considérons le groupe y dérivé des substitutions 0*0, . . ., o"a entre les trois variables yi^, y\j y\. Il est clair que le faisceau résultant de la combinaison des fonctions <p, Po • • • 1 (p{i se confondra avec le faisceau déduit des transformées de y par les diverses substitutions de y.

Le groupe y contenant moins de variables que le groupe F primitivement considéré, nous pouvons évidemment supposer que nous sachions reconnaître s'il est ou non primaire.

1® Si Y n'est pas primaire, nous pouvons assigner aux coefficients rf, dJ^ cP de la fonction © un système de valeurs lel que le nombre des fonctions cp, cp,. . . ., cpp^ qui restent encore distinctes dans cette hypotlièse soit moindre que celui des variables ^*, j'J^, j>'^ . Dans ce cas F ne sera pas primaire. En effet, supposons, par exemple, qu'il reste deux fonctions distinctes; soient

? — dfk + d'y'k -f- cV/k — 'f (.rA-,yA-,7i)»

Considérons le faisceau ^' dérivé des transformées de o par les diverses substitutions de F. Soit

une quelconque des fonctions qu'il contient. No.is avons vu que ce faisceau contenait la fonction

laquelle doit être une combinaison linéaire de 'f et de f |. On

aoa TROISIÈMB PARTIB. — GOAPITRB II.

aura donc

^i7i-*-i>;7;-+-i>;/i=^?(ri»yi,/i)-*-^i?i(ri»yi.yi).

c, C| étant des constantes.

Les intégrales ^i, y\^y\ ne figurant dans ^' que par les deux combinaisons 'f (71,/,,^,) et ^\{y\,y\,y\)j le nombre des fonctions linéairement distinctes dont ^' dépend sera moindre que n. Donc F n'est pas primaire.

2® Si le groupe y est primaire, de quelque manière qu'on choisisse d, cl^ rf", la suite (p, cpi, ..., '^^ contiendra toujours trois fonctions distinctes, f, (p^, ^2) et chacune des intégrales yk^ y\^ y\ dont elles dépendent, yk par exemple, pourra s'exprimer linéairement en fonction de (p, ^ 1, ^2. Elle appartiendra donc au faisceau ^'.

Formons maintenant les transformées successives de Vk par les diverses substitutions de F.

Cette intégrale étant entièrement déterminée, il n'y aura aucune difficulté à reconnaître combien le faisceau <l>^, dérivé de ses transformées, contient de fonctions distinctes; si ce nombre est inférieur à /i, F ne sera pas primaire; dans le cas contraire il sera primaire.

Soient, en effet,

Vz=c,Y,-h...-+-c-„,Y;„

un faisceau quelconque d'intégrales que les substitutions de F transforment les unes dans les autres; Y| Tune de ces intégrales. Le faisceau ^ contiendra le faisceau ^ déduit des transformées 'de Y| ; dans celui-ci existe une intégrale <p de la forme (11)) dont la combinaison avec ses transformées donne l'intégrale j^it. Donc ^ contient cette intégrale et ses transformées, parmi lesquelles il y en a /i linéairement distinctes.

163. Une seconde application de la notion du groupe nous sera fournie par la recherche des intégrales algébriques que peut offrir une équation linéaire.

ÉQUATIONS LIMÉÀIRES. ao3

Soit F = o une équation d'ordre /z, admettant des intégrales algébriques. Il est clair que, si t décrit un contour fermé quelconque, ces intégrales, restant toujours algébriques, se transformeront les unes dans les autres. Soient donc Xi^ . . ., Xm celles de ces intégrales qui sont linéairement distinctes; les intégrales algébriques cherchées auront pour forme générale

C| iXTi ~T~ . . . "T" C /u ^

et seront les solutions d'une équation linéaire d'ordre m

dx 'di

HT

à coefficients uniformes, après division par le coefficient du

d^^x terme en — ; — • Si donc F est une équation irréductible,

on aura m = nj et les équations F = o, G -^ o se confondront.

164. Étudions les équations, telles que G, à coefficients uniformes, et dont toutes les intégrales sont algébriques. Leurs coefficients, étant des fonctions algébriques et uniformes, seront des fonctions rationnelles.

D'ailleurs, aux environs de chaque point critique, les intégrales seront régulières. Considérons, en effet, un point

critique quelconque a. Une intégrale quelconque Xq sera

développable suivant les puissances croissantes de (l — ay\

p étant un entier convenable.

Soit

ce développement. Groupons ensemble tous les termes dont

ao4 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.

les exposants ne diflfèrent que de nombres entiers; on pourra écrire

<'av <^pi • • • étant des séries qui procèdent suivant les puissances entières de t — a.

Si l'on fait décrire à t un lacet autour du point a une fois, deux fois, etc., on obtiendra de nouvelles intégrales

a P x^= (S^^(t — a)P Ua~\- ^^^{t — a)P u^-+-

en posant, pour abréger,

ITZi

Résolvant ces équations par rapport à

(t—a)Puoi, {t~a)Pu^y ...,

on voit que ces quantités s'expriment linéairement en x^^ X|, ... : ce sont donc des intégrales; d'ailleurs elles sont manifestement régulières.

On voit de même que les intégrales seront régulières pour

165. Ce premier résultat nous donne déjà quelque lumière sur la forme des équations cherchées. En effet, d'après le n° 146, chacun des points critiques ^i, ..., t^ devant être un pôle d'ordre k tout au plus pour le coeffi-

cient de -j r > l'équation aura nécessairement la forme

+ 7~ —, h • • • -h v^ Xz=iO,

dt"' T dt""-' T« dt'^-'^ T'"

T désignant le produit {t — /|) . .. (/ — l^) et Mi, M2, ... étant des fonctions entières.

ÉQUATIONS LINÉAIRES. ao5

ÎI reste encore à exprimer que les intégrales sont régulières aux environs de ^ = oo. A cet effet, posons

d'où dt~ ?,' ,

on a

dx Tt

(Px

dx

du

^x m d ( ^dx\ .d^x ^dx

di^^-''dù[-"dU) = "dI?^'"'d^

et généralement d'^x

dt^

du'

dl^- »

îA-î

dl^-'

«A,4 i, cik,k-2i • • • étant des entiers, dont le premier est égal à k{k — \); car on voit sans peine que cette formule, étant

supposée vraie pour -r-jf > sera encore vraie pour la dérivée

suivante.

Substituant ces valeurs des dérivées dans Téquation proposée, et divisant par ( — i)'"/^^'", on aura Téquation transformée

d"*x I 'du'- '^ ''"''"'-' u

rf"*-« X

du'--' *^ '"•'"-• a«

du'"-'^

où il ne restera plus qu'à substituer t = - dansT, M|, Mj,

ce

Le point u = o doit être un pôle d'ordre i , a, ... au plus

pour les coefficients des dérivées -j .„ ' . > •-. „. , > •••• Il faut * du'-'' du"^-^

M M et il suffit pour cela que —^ 7^5» ••• soient développables

ao6 TROISifaNE PARTIE. — CHAPITRE II.

suivant les puissances croissantes de u et commencent respectivement par des termes de degrés i, 2, .... Mais on a

= Ml^-f-C,Ml*+>H-. ..

On devra donc avoir

Donc, M|, ..., M;t, ... sont des polynômes entiers en /, de degrés au plus égaux à (jl — 1 , . . ., A'((jl — 1), ....

166. Il est aisé d'établir que la somme des racines des équations déterminantes relatives aux points critiques /«, . . .,

/|x, QO est égale a ( (jl — 1 )

En eflfet, l'équation déterminante relative au point // sera évidemment

r(r— i) ...(/• — m 4- i) -4- ' /'^ /'(r — i) . . .(/• — m -^ 2) et la somme de ses racines sera

/??(//? — !) Mi(//)

D'autre part, l'équation déterminante relative au point / = 00 sera

-^- {(^m, m 'i — di) r{r — i) . . .(/- — m 4-2) -t-. . . = 0,

et la somme de ses racines sera

am,m-i-^di = i^ --hdi,

La somme totale des racines de ces équations sera donc

car on a, d'après une formule connue de ia décomposition des fonctions rationnelles,

Y M,(ff) I M,(<) ZiT'(^) c-t/- T(tj'

d'où, en multipliant par t et posant / = x,