VM,(/,)

Ztvô- '■

167. Nous venons d'obtenir la forme générale des équations dont les intégrales sont partout régulières; mais il s'en faut de beaucoup que toutes les équations de ce genre aient leurs intégrales algébriques. Pour qu'il en soit ainsi, un second caractère est nécessaire ; il faut que le groupe de l'équation ne contienne qu'un nombre fmi de substitutions.

En effet, chacune des substitutions du groupe est définie par le système des fonctions dans lesquelles elle transforme les intégrales indépendantes Xt, ..., Xm] mais chacune de ces intégrales, étant algébrique, n'a qu'un nombre fini de transformées distinctes; le nombre des substitutions distinctes est donc fini.

Réciproquement, toute équation à intégrales régulières, dont le groupe ne contient qu'un nombre fmi de substitutions, a toutes ses intégrales algébriques.

En effet, soient Xt une quelconque de ces intégrales, ^2, ... ses transformées par les substitutions du groupe. Toute fonction symétrique de ces transformées étant évi-

208 TROISIÈIIB PARTIE. — CDAPITRE H.

demmont uniforme, x^ sera racine de l'équation

dont les coefficients sont uniformes

Considérons d*ailleurs un point critique quelconque f|. On aura aux environs de ce point un système d'intégrales distinctes dont les développements auront la forme

(/ — tiYluo-^ a, log(^ — ^,) -4-, . . -I- M*log*(^ — ^,)],

^oi • • •) ^A étant monodromes aux environs de <|.

Mais, pour qu'une expression de ce genre n'admette qu'un nombre limité de transformées distinctes lorsqu'on tourne autour de ^i, il faut évidemment : i® que les logarithmes disparaissent, 2° que r soit rationnel. On aura donc un système d'intés:rales distinctes

i^z=z(t^t,yMtou ^.^ii-t.ysii

où Ti, r2) . . . sont des fractions rationnelles.

Soit p le plus petit multiple de leurs dénominateurs. Les

intégrales ^i, ^29 ••• seront développables suivant les puis-

sances entières et croissantes de (t — ^1)''; et il en sera de même de Xi^ j'a, ... qui s'expriment linéairement en Ç,, ^2, .... Le point ^1 sera donc un point critique algébrique pour chacune des intégrales Xtj ^2» ••• et, par suite, pour les coefficients de l'équation (i3). Mais ces coefficients sont uniformes; donc ti sera un pôle (ou un point ordinaire) pour chacun d'eux.

On verra de même que 00 est un pôle ou un point ordinaire pour ces coefficients.

Les coefficients de l'équation (i3) é'.anl uniformes c» n'ayant d'autres points critiques que des pôles, même à l'infini, seront des fractions rationnelles, et x^ x^, ... seront des fonctions algébriques.

Si donc on savait déterminer tous les groupes formés d'un nombre fini de substitutions entre m variables, on cor.-

naîtrait par là même les divers types possibles d'équations linéaires d'ordre m à intégrales algébriques, et il suffirait, pour reconnaître si une équation donnée appartient à cette catégorie, de chercher à identifier son groupe avec Tun de ceux dont on aurait dressé le tableau.

Le problème arithmétique de la construction des groupes d'un nombre fini de substitutions, auquel la question se trouve ainsi ramenée, n*est résolu d'une manière complète que pour m = 2 ou 3. On a toutefois démontré que, pour une valeur quelconque de m, le nombre de ces groupes est limité, et l'on en a déduit ce théorème :

Si V équation G = 0, d^ordre /n, a toutes ses intégrales algébriques, elle admettra un système d'intégrales distinctes x^^ . . .^Xmde la forme

p étant un entier et U|, Ua, . . . étant des fonctions rationnelles de t et d'une irrationnelle u définie par une équation

f{t, U)=Oy

dont le degré est limité en fonction de m.

Nous nous bornerons à énoncer ce résultat, dont la démonstration exigerait une exposition détaillée des principes de la théorie des substitutions.

468. Le cas où l'intégrale générale de l'équation G = o est non seulement algébrique, mais rationnelle, mérite une attention particulière. Il est aisé de le reconnaître.

En efiet, les intégrales devant n'avoir d'autres points critiques que des pôles, l'équation déterminante relative à Tun quelconque des points critiques de G n'aura que des racines entières, et les développements des intégrales régulières ne contiendront point de logarithmes.

Pour que cette dernière condition soit remplie, il faudra I. — Cours, III. i4

aïO TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.

tout d'abord qu'aucune des équations déterminantes n'ait de racines multiples (loi).

Supposons qu'il en soit ainsi; soit F(r) = o l'équation déterminante relative au point /|, et soient a, a', a'', ... ses racines, rangées par ordre de grandeur croissante. L'intégrale générale aux environs du point /| sera de la forme

2u L ^ ^Wix(^ - ^ir"^«"iog'(^ - ^i) +. . . J '

et, en substituant cette valeur dans l'équation diflTérentielle, comme au n° 149, on obtiendra une série d'équations linéaires et homogènes qui détermineront par voie récurrente tous les coefficients c, c', c'', ... en fonction des m coefficients Ca, Ca^, Caw, • . . qui restent arbitraires. On voit d'ailleurs sans difficulté que tous les coefficients c\ c"^, . . • qui multiplient des termes logarithmiques s'expriment en fonction des m — I coefficients c'»^, c'»/», . . . , et que ceux-ci ont des expressions de la forme

Donc, pour que les logarithmes disparaissent, il faut et il suffit qu'on ait les — ^ équations de condition

169. Réciproquement, si l'ensemble des conditions qui précèdent est rempli, l'intégrale générale sera rationnelle. En effet, elle n'a pour points singuliers à distance finie que des ])ôles. Elle est donc uniforme.

Formons d'ailleurs l'équation déterminante pour/=:» et groupons ses racines en classes en réunissant celles dont les difl'érences mutuelles sont entières. Soient p, p', ... les plus petites racines de chaque classe; [x, jx', ... le nombre des racines contenues dans leurs classes respectives. Pour des valeurs suffisamment grandes de /, on aura, pour l'inlé-

grale générale, un développement de la forme

les expressions (f, ^i, ...,(p', ... étant des séries procédant suivant les puissances entières et croissantes de -•

Mais» puisque celte expression est uniforme, les logarithmes disparaîtront nécessairement et les exposants p, p', .-. seront entiers. L'*ntégrale générale aura donc un simple pôle à Tin-

P Gni; ce sera donc une fonction rationnelle r-r*

On pourra d'ailleurs la déterminer par des opérations purement algébriques. En eflety on connaît, par ce qui pré- ::ède, la situation des pôles à distance finie et Tordre de multiplicité de chacun d*eux. On pourra donc former le dénominateur Q. L'ordre de multiplicité du pôle t = co étant §galement connu par le développement obtenu suivant les

puissances de -> le degré du numérateur P sera déterminé. Pour déterminer ses coefficients, il suffira d'identifier le développement de jr suivant les puissances de - à celui qu'a fourni l'équation difi^érentielle.

170. Considérons plus généralement, avec M. Halphen, les équations dont les intégrales sont partout régulières et sont monodromes dans toute région du plan qui ne contient pas le point f|. Les autres points critiques ^2> • • •) /(ii des coefBcients de l'équation ne pouvant être que des pôles pour l'intégrale, les équations déterminantes qui leur correspondent n'auront que des racines entières, et les logarithmes disparaîtront des développements correspondants, ce qui

donnera (|a — i) équations de condition, dont

l'existence sera à vérifier.

31 a TROISIÈME PARTIB. — CHAPITRE II.

Lorsque rensemble des conditîoDS précédenles est rempli, on peul trouver Tintégrale générale. En effet, diaprés Tanalyse du n° 143, on peut déterminer un système d'intégrales particulières formant une ou plusieurs séries, et telles qu'aux environs du point ti les intégrales j^o 9 "-mJ^a d'une même série soient de la forme

7, =:(^-^,)'-(0,WoH-l/,),

J* = ( ^ — ^1 )'' ( 0* «0 -+- Oa-1 "i 4- . . . -*- Mjt),

Uq, . . ., iik étant des fonctions monodromes aux environs du point ti , r désignant une racine de l'équation caractéristique qui correspond à ce point et les 0 étant déûnis par les relations

^^-^i^^S('-^^)^ ••- ^^- TTTrTT^t

Les fonctions Uoy • - • , ^a, définies par les équations précédentes, seront des fractions rationnelles. En effet, les points ^2, . . . , ^{1 étant des points ordinaires pour les fonctions (t — ^i)"'" et log(/ — ^1), et de simples pôles pour Xoj • • "> yk^ seront de simples pôles pour Uq, .. ., wa- Donc ces fonctions sont monodromes non seulement aux environs de tiy mais dans tout le plan. D'autre part,

log(^ -ti) — — logj-^ log ^i - M

sont des expressions régulières pour ^ = 005 il en est de même pour ^oj •••> >'A et, par suite, pour «o» ..., «a- De ces deux propriétés réunies on déduit que Uq^ ..., u^ sont

des fractions rationnelles de la forme ^> • • • » -—•

On pourra d'ailleurs les déterminer par des opérations al-

ÉQUATIONS LINÉÀIRBS. ai3

gébriqnes. En effets connaissant les pôles t^, ..., t^ des intégrales et leur ordre de multiplicité, on pourra former le dénominateur Q. Le développement de Tintégrale générale pour / = o) fera connaître le degré des numérateurs Po, . • .9 Pk' Pour obtenir leurs coefficients, il ne restera plus qu'à substituer les expressions précédentes dans Téquation diflerentieile et à identifier le résultat à zéro.

171. Considérons encore les équations de la forme f'^^ Po-5^+Pi-5^;;rT-*---^Pm^ = o,

où Po, . . .y Pm sont des polynômes dont le degré soit au plus égal à celui du premier d'entre eux, Pq.

Lorsque l'intégrale d'une équation de cette forme n'a pour points critiques à distance finie que des pôles, ce qu'on reconnaîtra aisément par les méthodes précédentes, on pourra obtenir l'intégrale générale par les considérations suivantes, également dues à M. Halphen.

Remarquons tout d*abord que la condition imposée aux degrés des polynômes P équivaut à dire que les développements de j^j •••> -^ suivant les puissances décroissantes

de / ne contiennent pas de puissances positives. Posons maintenant

R désignant une fraction rationnelle en t. La transformée en y

^^^-dî^^'^^^^'

^^"Vv . Tn{m — ^)

sera de la même forme que la primitive en x\ car son intégrale n'a que des singularités polaires, et ses coefficients sont rationnels et pourront être rendus entiers en chassant

ai4 TROISIÈMB PARTIE. — CHAPITRE II.

le dénominateur commun. Enfin, si nous admettons que R, développé suivant les puissances décroissantes de /, commence par un terme en tP^ ses dérivées R', R", . . . commen

ceront par des termes d'ordre moindre, en //*"**, tP~^^

On en déduit sans peine que les développements des coefficients de Téquation (après division par PoR) ne contiendront pas de puissances positives de t.

172. Cela posé, on peut déterminer a priori les pôles /i, ^29 - • • de rinlégrale de Téquation (i4) et leurs ordres de multiplicité [X|, [jls, ....

Posons

La transformée tu y

appartiendra au même type que la primitive; mais ses intégrales n'auront plus de pôles.

Posons

La transformée en z (après suppression du facteur commun fi^^) sera

d"^-^z dl"''^

d'^z 'di^

dt"'-^

et appartiendra évidemment encore au même type. Mais on pourra disposer de l'indéterminée \y de manière à annuler le coefficient du terme de degré le plus élevé dans R»,, qui sera dès lors un polynôme de degré moindre que Ro-

173. Supposons ce résultat atteint, et cherchons à nous rendre compte de la forme des coefficients de Téquation en z.

Soient 0| , 629 • • • les racines de Téquation Ro = o ; on aura par la décomposition en fractions simples , en remarquant que Ra est au plus du même degré que Ro,

Rjt 4 ^Ç^ ^ifr/

les A, B étant des constantes. (En particulier Â,;, sera nul.) D'ailleurs chacun des points 0/ étant un point ordinaire, aux environs duquel les intégrales sont régulières, l'indice / ne pourra prendre dans la sommation que les valeurs i , 2, . . . , A*. L'équation déterminante relative au point 0/ sera

r(r — i). . .{r — m-hi)4- B/nr(/* — i)...(r — /n4-2)

■+- BiMr(r — 1). . .(r — m 4- 3)-!-. . =0.

La somme de ses racines est

D'ailleurs 8/ étant un point ordinaire pour les intégrales, ces racines seront nécessairement entières, non négatives et inégales. Leur somme est donc au moins égale à

donc B/, I est un entier non positif. A fortiori la somme

étendue à tous les points critiques apparents, sera entière et non positive.

174. Cela posé, admettons d'abord que Km ne soit pas nul et prenons pour variable auxiliaire la quantité 5'= -^'

ai6 TROlSlftMB PARTIE. — CHAPITRE U.

L'équation en z pourra s'écrire

Dîflférentiant, il viendra

Ro-^4-(R;-+-RO-5^4-...H-R'mS = o.

Éliminant z entre ces deux équations, on aura la transformée en 5'

RoRm -^^ -4- [(Ro-t- Ri)R/«— RoRm] ^^m-i "^' • *

-+-[(Rm-l-HRm)R;n~Rm-|R'm]«' = 0.

Cette équation est évidemment du même type que Téqualion en 2 ; et le rapport des deux premiers coefQcients, qui

dans l'équation primitive était ^ > sera devenu

-4-Ri)Rm RoR-« Rf Ro Ro R/rt Ro Ro

Or soient

Ro Co(^-0,)«.(^-0,)«....,

on aura

et de même

La somme S', analogue à S, formée pour l'équation en ;;', sera donc

et sera ^ S, car Sa, degré de Ro, est supérieur à S^, degré deR;n-

ÉQUATIONS LIlftAIRBS. 217

La dérivée seconde ^ satisfera de même à une équation du même type, mais où la somme S'', analogue à S, sera >• S'.

Si Ton pouvait poursuivre ainsi indéfiniment, on obtiendrait par là une suite illimitée de nombres entiers S, S', S'^, ... non positifs et croissants, ce qui est absurde. Or on ne peut se trouver arrêté qu'en arrivant à une équation où le coefficient du dernier terme soit nul. Supposons que cette circonstance se présente pour Téquation en £". Cette équation admettra comme intégrale particulière une constante ; et l'équation en z aura pour intégrale correspondante un polynôme n de degré n ; enfin Téquation Qny admettra Tintégrale particulière e^'II.

Posons maintenant

y — è^^nfy.dt.

La nouvelle variable y^ satisfait à une équation d'ordre m — i , et qui, d'après ce qui précède, appartiendra au même type que l'équation en^. On pourra donc en déterminer une solution, de la forme eVOi, IIi désignant un polynôme.

Posant

yi=e^t'llij y^dty

on continuera de même, jusqu'à ce que l'on arrive à une équation du premier ordre, dont l'intégrale sera

c,ig désignant une constante arbitraire.

Les intégrations indiquées sont d'ailleurs de celles qu'on sait effectuer et fourniront un résultat de la forme

y=^c,e^kiWj,,

les Va désignant des polynômes et les c* des constantes arbitraires.

Divisant cette expression parle produit (t — ^«)l*«(^ — ^,)l*»...,

3l8 TROISlfeMB PARTIE. — CHAPITRE II.

on aura Tintégrale générale de Téquatioa en j*, sous la forme

(i5) a^=^c^e^kif^{t),

les /a étant des fonctions rationnelles.

175. Réciproquement, toute équation différentielle dont l'intégrale générale est de cette forme appartient au type que nous avons considéré.

En effet, éliminant les constantes c/ç entre Téquation (i5) et ses dérivées et supprim:mt les facteurs communs exponentiels, on obtiendra une équation à coefficients rationnels, qu'on pourra rendre entiers en chassant les dénominateui*s. Soit

cette équation. Son intégrale n'a, à distance finie, que des singularités polaires. Reste à prouver que les degrés de Pi, . . . , P;„ ne surpassent pas celui de Po.

La chose est manifeste pour les équations du premier ordre; car de l'équation

on déduira, en prenant la dérivée logarithmique, l'équation

où le coefficient)^-!- -jhri développé suivant les puissances

décroissantes de t^ ne contient pas de puissances positives. Supposons d'ailleurs le théorème établi pour les équations d'ordre m — i . Il sera vrai pour l'équation

ÉQUATIONS LmÉÀlRBS. aiQ

qui admet pour intégrale générale

car chaque terme de cette expression est le produit d'une exponentielle par une fraction rationnelle. Il sera encore vrai pour l'équation de degré m

r. d"^u ^ du

^'M^-^'""^^''^''dï = ''^

dont rintégrale générale est

et si nous posons

il sera encore vrai (171 et 172) pour la transformée en x. Or celle-ci a précisément pour intégrale générale ^C/(e^f>^^fi(t).

176. La méthode que nous avons indiquée plus haut pour intégrer par des séries les équations qui n'ont qu*un nombre fini de points critiques peut aisément s'étendre au cas où les coefficients de l'équation, au lieu d'être uniformes en /, sont des fonctions uniformes de t et d'une irrationnelle u, racine d'une équation algébrique /(^, //) rr^ o.

En eifet, les points critiques de Téquation considérée sont de deux sortes : i° ceux aux environs desquels u reste monodrome; a" ceux autour desquels les diverses déterminations £/|, U2j ... de cette irrationnelle s'échangent les unes dans les autres.

A partir de chaque point critique de cette seconde sorte, traçons une coupure allant jusqu'à l'infini. Tant que t ne traversera pas ces coupures, W|, U29 ... resteront monodromes. Substituant successivement ces diverses fonctions dans l'équation diiférentielle à la place de u, on obtiendra

330 TR0ISIÈ3IE PARTIR. — CBAPITRB U.

une suite d'équations difTérentielles

^' = -5^ -^ ^' ( '• "'^ 5F^ -^ f ' ( '' "'^ rfF^ -^ • • • = *•

Chacune d'elles admettra un système de n intégrales distinctes Xiiy ..., Xait qu'on pourra exprimer par des séries dans la région considérée.

11 reste à voir quel changement subissent les intégrales lorsqu'on traverse les coupures. Or, si nous supposons qu'en traversant une d'elles ui se change en ii/(j l'équation F/ se changera en F;^. Les intégrales j^i/, ..., Xni se changeront donc en intégrales de cette dernière équation, soit en expressions de la forme

Pour déterminer les coefficients c, on n'aura qu'à égaler les valeurs numériques que prennent les intégrales jti/, ..., Xni et leurs n — i premières dérivées en arrivant à la coupure aux valeurs que prennent Cn^a-I- .. . -|- C|«^«j^, ... et leurs n — i premières dérivées de l'autre côté de la coupure.

177. Nous terminerons cette section en effectuant quelques applications particulières des principes généraux que nous avons exposés.

Proposons-nous d'étudier les équations linéaires du second ordre à trois points critiques ^O) ^o ^2 et à intégrales régulières.

Soit F=o l'équation proposée. Changeons de variable indépendante en posant

mu ■+■ n

Soient 0, u deux valeurs correspondantes de t, 11. On voit sans peine qu'on aura, aux environs de ces valeurs, une relation de la forme

^ — e = a, (m — o) -ha,(M — u)'-h. ..

(formule où l'on devra remplacer t — 8 ou « — u par - ou -

si 0 ou u deviennent infinis).

Cette valeur de t — 0, étant substituée dans une fonction entière de t — 0, donnera une fonction entière de u — u. D'autre part, en la substituant dans une fonction régulière de t — 0, telle que

(^-0)'-[To-+-T,log(^-0)-h...-+-Txlog>(^-0)],

où To, T|, ..., Tx sont des fonctions entières de t — 0, on obtiendra évidemment un résultat de la forme

{u — u)'-[Uo4- Ui log(w - u) +. . .-h Ux log>(a -u )],

Uo, . . .j Ux étant des fonctions entières de u — u.

Donc Téquation transformée entre x et u admettra comme points critiques les trois points Uoy Ut, u^ correspondant à ^0) tij f 2 i ses intégrales seront régulières aux environs de ces points, et les équations déterminantes relatives à ces points seront les mêmes qu'aux points correspondants de Féquation primitive.

Nous pouvons d'ailleurs disposer des rapports des coefficients m, n, m'y n! de manière à donner à i/oy ^ht ^i ^^s valeurs arbitrairement choisies. Nous ferons en sorte que ces valeurs soient o, i , oo. Ce résultat pourra évidemment être obtenu de six manières distinctes, suivant qu'on posera «0= o, w, = I, ii2= 00, ou Wo= 'î Wi == o, M;, = 00, etc.

178. Soient respectivement \ V; ji., jjl' et v, v' les racines des équations déterminantes relatives aux points critiques o, I, 00. Si X — X', [JL — [jl', v — v' ne sont pas entiers, on aura pour les intégrales aux environs de chacun de ces trois points des développements de la forme

U, U' étant des fonctions entières de u] V, V des fonctions

entières de w — i; W, W des fonctions entières de -•

Posons maintenant

y étant une nouvelle variable. Nous aurons entre u et y une équation transformée H = o, dont les intégrales seront données aux environs des points 0,1,00 par les développements

les quantités

étant respectivement développables suivant les puissances entières et positives de u, de u — i et de - •

L'équation H = o a donc ses intégrales régulières, et ses équations déterminantes par rapport aux points o et i admettent une racine nulle, la seconde racine étant respectivement V — X et [jl' — [JL.

Il existe évidemment quatre manières d'arriver à ce résultat; car on peut prendre pour X une quelconque des deux racines de Téquation déterminante du point o, pour [jl une quelconque des deux racines de Téquation déterminante du point 1 . Sur ces quatre manières, il y en aura une telle que les racines V — X et |jl' — [jl aient leur partie réelle positive (à moins que ces différences ne soient purement imaginaires).

L'équation H = o doit être de la forme

(Py Mi(u) dy M,(//) ,

du^ "^ u{u — i) du "^ u^u — iy-^"^' '

M|, Ms étant des polynômes de degrés i et 2, et ses équations déterminantes par rapport aux points o et i seront

r{r — i) — Mi(o)r-t-Mj(o)r=:o, r(/- — i) -f-M, (i)r + M,(i) = o.

Comme elles ont une racine nulle, M2 devra admettre les racines o et i et sera divisible par u(u — 1). En effectuant la division et chassant les dénominateurs, Féquation prendra la forme

«(«-.)^ + (A«-hB)^-hC7=o

OU, en remplaçant A, B, C par trois nouvelles constantes a, ^, Y déûnies par les relations

179. Les équations déterminantes relatives aux trois points critiques o, i, oo sont respectivement

/•(r — I) — (y — a — ? — 1 )r iri o, — r(/*-t-i)-h(a-+- P-f-i)/- — aP = o,

et ont pour racines

o et I — Y, o et Y — ^ — P> a et p.

L'équation admet donc une intégrale développable aux environs du point o suivant les puissances entières et positives de u.

Soit

cette intégrale. En la substituant dans l'équation et égalant à zéro les termes en wH-, il viendra

[(ix -M)fx -+- Y(fx -+- i)]c^H-i = O ;

3a4 TB0ISI&9B PAKTU. — CHAPITRE II.

d'où

(« + tt)(P+(l).

et, par suite, en donnant à Cq, qui reste arbitraire, la valeur i,

F désignant la série hypergéomé trique (t. I, n° 170).

180. Cela posé, il existe, comme on l'a vu plus haut, vingtquatre substitutions de la forme

qui transforment Péquation proposée en une équation analogue. L'équation transformée admettra comme solution une série hypergéométrique, et Ton en déduira aisément une intégrale correspondante de l'équation primitive.

A.U système de valeurs o, i, oo données à u doivent correspondre pour u les mêmes valeurs, mais dans un ordre ar-

bilraire, ce qui donnera, pour la fraction — ; •. > les six

formes suivantes :

A chacune d'elles correspondent quatre équations transformées, qu'on obtiendra en prenant successivement pour X chacune des deux racines de l'équatiou déterminante du point o, pour |jl chacune des racines de l'équation déterminante du point I.

Nous allons donner un exemple du calcul de l'une de ces intégrales.