Soit par exemple u = Pour w = o, i , oo, on

aura u r= o, oo, i ^ l'équation entremet u aura donc ces trois

ÉQUATIONS UNÉÀIRES. 325

points critiques, et les racines des ëqaations déterminantes correspondant à ces trois points seront comme précédemment

o et I — Y> o et Y — « — P, « et p.

On pourra donc prendre

X r= o ou I — Y, p. zz: a ou p.

Prenons, par exemple,

X ml — Y, \L=za.

Les racines des équations déterminantes pour Téquation entre js et u seront

Pour o. . . — X 3=1 Y — 1 , 1 — y — X =: o,

Pour 00.. X-+-|Xr=rat-M — y> T — « — P-l-X-f-fX— i — 3,

Pour I... a — l*-^= o, p — fJ'- = P — a.

Si nous posons

d'où

a'=ia-M — Y» P'=> — P> ï'=2 — y»

cette équation admettra la solution

F(a',P',Y','^). L'équation primitive admettra donc la solution

j=:u*-Y(i-u)«F(a',PSY',u)

OU, en remplaçant u par sa valeur et a', P', y p«r leurs

valeurs et supprimant le facteur constant ( — i)Y~"^*,

y = a»-Y(i e^)r-a-t p ^a 4- i - y> » - ?» 2 - y. -^^ ) ' J. — CourSf III. lâ

18S. On obtient par un procédé tout semblable les vingtquatre intégrales suivantes :

F(a,p,-r,«), (,^i,)Y-«-PF(y-«,t-P,T, ")*

w»-ïF(a — Y4-I, p— Y-M, 2 — Y, w), tt«-Y(i — a)Y-«-P F(f — a, I — ?, 2 — Y, «),

ai-Y(,w)Y-a-tF^a-Y-+-', i-p, 2-Y, ;7^)>

,,i-Y(i a)T-MF(p-Y-hi, i-a, 2-Y,-j7:^)'

F(«, p, a+p — Y + i, I — m), a'-YF(a — Y + i, P — Y-+~ï>«+P — Y"*"'» ï — ")>

M-« FU, a — Y + i» «-hP — Y^-ï» ^^ ~" j >

(,i,)Y-«-PF(Y-a, Y-P, Y-«-P + '» I-"), (,--.f^)Y-x-Pa»-YF(i — a, I — p, Y — a-p-hi, I — m),

(i— a)ï-«-Pw«-YF/^i— a, Y — a, y — a — p-hi, ^^^ (i^)Y-«-PiiP-Yf(i-P,Y-P,Y-»-P-Hi,'^)»

ÉQUATIONS LnifiAIRBS. 227

(36) ,^-?f(p,P-y + '» ?-«-+-'» Jj)>

(37) ,^-p(,- iy"°'"^F(.-«,Y-^, p-« + ',f^)'

(39) ,,-p(^,-- î.y"^""F(p-Y^'» ,-a, p-ot-M, j-i-).

183. Coupons le plan suivant la portion de i^axe des x qui s'étend de o à 4-00. Dans le plan ainsi coupé^ chacun des développements précédents restera monodromc. Pour

achever de les préciser, nous pouvons adopter pour arguments

(le a, I ceux qui sont compris entre o et 27c, pour argument de I — u celui qui est compris entre — tc et -f- 7t. Les puissances de «, i > i — u qui figurent dans les expressions (16) à(39) auront des valeurs entièrement déterminées. La région de convergence des développements ci-dessus sera : 1° pour ceux où la série hypergéomélrique a l'argument « ou I — w, l'intérieur des cercles Co, C| de rayon i décrits autour du point o ou du point i respectivement:

2° pour ceux d'argument -> » l'extérieur de ces mêmes

cercles; 3° pour ceux d'argument > la moitié du plan

située à gauche de la droite ^ = - ; 4° pour ceux d'argument

, la moitié du plan à droite de cette ligne.

Il restera à déterminer les relations linéaires qui lient entre eux ces divers développements dans leurs régions de convergence commune.

Les différences des racines des équations déterminantes

relatives aux points 0,1,00 sont respectivement i — v, Y — a — p, j3 — a. Nous supposerons que parmi ces quantités, il en existe au moins une dont la partie réelle ne soit pas nulle. Les 24 transformations de Téquation de Gauss permettant : 1° de permuter entre eux d'une manière quelconque les points o, i, 00 sans changer les équations déterminantes ; 2** de changer à volonté les signes des diflerences des racines des équations déterminantes relatives aux points o et 1 , il nous sera permis d'admettre que y — a — ^ ait sa partie réelle positive. Dans ce cas les séries h jpergéomé triques

FU,a Y4-i,a-p-hi,ij, pf p, p — y + ', P - « + i, J^)

seront encore convergentes sur la circonférence du cercle Go et, en particulier, pour u = i elles prendront les valeurs suivantes (t. I, n"» 379 et 382),

r(«-p-t-i)r(Y-a-p) , r(p-« + i)r(Y-a-p) ''- r(i-p)r(Y-P) ' '~ r(i-a)r(Y-at)

Gela posé, désignons par a« j^« , a«^2 les développements ( 1 6) et (20), par b^Zi, 62^2 les développements (32) et (36); et soit j: une intégrale quelconque de Téquation de Gauss. On aura dans rintérieur de Go

et à l'extérieur de Go

j: = e/i Si -h C^t ^î*

Pour trouver la liaison entre les constantes C|, 02, t/, , c/2, nous remarquerons que sur la circonférence elle-même, où les développements restent tous deux convergents, on aura

En particulier, au point a= i, on aura sur le bord supérieur de la coupure

y\^^ yt^^ ^i^^ jj = I

«QUATIONS LINEAIRES. 229

et, sur le bord inférieur,

-r — /»— m/a ^ — ^-îit/B

d'où les deux relations cherchées i Cl -h c, = rf, -4- c^„

Tirant de ces équations les valeurs de d^ d^ pour les substituer dans l'expression a: = rf| -3| -f- ^2^2»

il viendra

Cette expression, convergente en dehors du cercle Co, représentera dans cette région la même intégrale qui, dans l'intérieur de Co, était égale à C|^i -+- C2j^2«

184. II ne reste plus qu'à voir comment les constantes C|, C2 se modifient à la traversée des coupures qui joignent les points critiques o et i, i et 00. »

Si l'on traverse la droite 01 (en montant), j^i ne change pas, y2 est multiplié par e'^'^'y ; et x = Ctyt 4- €2^2 est changé en Cf^i 4- Cae~*^'T^2« Ainsi c^ ne change pas, et c^ est multiplié par e-2«'Y.

Si l'on traverse la coupure 100 (en montant), d^^d^ seront changés en (4i) d\ — e-^^'^d^, d^ — er-^^i^d^

et C| , C2 en deux nouvelles constantes c\ , Cj liées à ûTp ûT^ parles relations

En résolvant les équations linéaires (4o), (41)9 (4^)9 ^^ éliminera les auxiliaires rf|, rfj? ûT^, c^^ et l'on obtiendra l'expression dec', , c^ en fonction linéaire de C|, C2.

Si l'on traversait les coupures en descendant, les coeffi-

23o TROISllMB PARTIE. — GHAPITBB II.

cients C|, Cq subiraient (évidemment la transformation inverse de celle qui vient d'être déterminée.

Les coefficients des formules de transformation ne renferment, comme on le voit, que des exponentielles.