Uéquation (43) w(,-ii)g-4-[Y-(a-hH-i)«]^J
étant différentiée, donnera
dtt^
ou, en posant -j- ^=y,
-^ Lï -H I - (« -+- P -+- 3)11] jj^ - (« -M) (P + l)/==0.
Cetle équation ne diffère de la précédente que par le remplacement de a, ^, Y par a-^i, P + i,y4-i.
La dérivée —, — ^ = y'*""* satisfera donc à Téquation
Cette équation, multipliée par wY+«-2(i — w)a+p-Y+«-«, pourra s'écrire
3=(a-h,i — i)0-t-/i — i) a"-* (i — /O""* Hr""', en posant, pour abréger,
M = wY-«(i — m)««-P-T.
En la dlfférentiant n — i fois, il viendra
L'application répétée de cette formule de réduction donnera, pour toute valeur de n entière et positive,
= (x(a-hi)...(a-4-/i — i)?(P-M) ... (P-H/l— l)M/.
Cette formule est particulièrement intéressante lorsque ^ est un entier négatif — n. L'équation (43) admettra dans ce cas comme solution l'expression
laquelle est un polynôme de degré /e, dont la dérivée n""* se réduit à la constante
g(g-hl)...(a-h/^ — i)^(P 4- !)...( P 4-/1 — i)^ Y(Y-M)...(T-i-/i — I)
La formule (44) donnera donc dans ce cas particulier
^ » »» / My(y-+-')- ••(t-+-'* — 0 ^"
ou, en remplaçant M par sa valeur et changeant a en a + /i»
Le polynôme
est donc un produit de puissances par une dérivée n^^™*.
a3a TnoisiÈJHB partie. — chapitre iu
186. Les quantités y et a-h i — Y étant supposées positives, les intégrales définies
5„^„=f aT->(i-i/)«-YZ„Z;,é/w
seront finies et déterminées; elles auront d'ailleurs les valeurs suivantes :
(45) J;„.;» = o, sim>n,
(46) j i r{n-^i)TH^)r{a-^n-.'t-^i)^
En effet, Zn satisfait à Téquation qui peut s'écrire
^ aY(i — w)«-^-»-YZ; =:— « (/l 4- Gt) llY-i(i a)«-YZ„.
Multiplions par Z;„ et intégrons de o à i ; il viendra
/ï(«H-«)J;«,»=~r Z;„^[wY(l-M)«^i-YZ;],
ou, en intégrant par parties et remarquant que le terme tout intégré s*annule aux deux limites,
/»(/»-f-«)J^,„=r //Y(i-w)»+«-YZ;,Z'^^a:z.m(mH-a)J^,,;
car le second membre ne change pas si Ton y permute m et n.
On aura donc, si /w^/i,
Si m = n, on remarquera que Z^ satisfait à une équation de même forme que Z/,, sauf le changement de a, /i, y en
du
ÉQUATIONS LINÊAIRBS. 233
a-r2, n — i, y-hi; on aura donc, par un procédé tout semblable,
(/i-i)(/i4-aH-i) r «r(i-«)a+t-YZ;,z;
= Ç i^YH-i (, «)a-^î-Yz;z; du.
Continuant ainsi, on aura finalement
D^ailleurs
el
r^ v^« ./ x«4« v^ r(Y-H/î)r(a-4-/i--Y-+-l) I £fY+«-»(i— i/)a^'»-Yc^//= -iJ — -1 — ^^ -J i.
Jo r(a-+-2/l-+-i)
Substituant ces valeurs et remplaçant les factorielles par (les quotients de fonctions F, on trouvera la formule (46)«
Soit maintenant /({/) une fonction quelconque, que nous nous proposons de développer en une série de la forme
f{u) =: AoZo-f-A,Zi4-. . .-hA;,Z/|-H. . ..
Un semblable développement étant supposé possible (*), on en déterminera aisément les coefficients. Multiplions en effet les deux membres par wY~*(i — w)*"YZ;, et intégrons de o à I ; il viendra
f /(a) wY-i (I - tt)«-YZ« du^kJnn.
(') Sur celte possibilité voir le Mémoire de M. Darboux Sur les /onctions de grands nombres {Journal de Liouville, 3* série, t. IV, p. 5 et 377).
334 TnOlSl^ME PARTIE. — CHAPITRE II.
ce qui donnera le coefficient A;, exprimé par une inlégraie définie.
187. Les résultais que nous venons de trouver renferment comme cas particuliers ceux qui ont été obtenus précédemment pour les fonctions X/, de Legendre. Posons en eflct a = Y = I ; nous aurons
