CD

et, en posant u = — ; — > nous obtiendrons le nouveau polynôme

188. Considérons comme dernière application Téquation de Bessel

d}y I dy

dx'^ X dx \ x'^ Substituons pour^ la série

Il viendra, en égalant à zéro le terme en x'^^^^

(r 4- 2 fx -f- 2) (r -f- 2 fx -f-i) CjjH-i

-+- (r 4- 2 [X -f- 2) CjjH-i -h Cpt— /i*C(x+, = o;

d'où

^ll-»-l

(r4-2[X-h2-f-/l)(/--^2{JL4-2 — /l)

En posant |jl = — i, on aura Téquation déterminante r'— /i'=:o, d'où . r=L±in,

ÉQUATIONS LINEAIRES. 235

Prenons d'abord r = /i, il viendra

Cm

*^L 2«(/l4-l).l 2'l*(/l-+-l)...(/l4-fl).I.2...fX J

Le terme général de la série entre parenthèses peut s'écrire ainsi

Si donc nous prenons pour plus de simplicité la constante Cn éerale à — , il viendra comme première so-

lution la série

^r(/n-{x-hi)r({x-hi)'

que nous désignerons par J/,.

En posant /• = — /i, on trouvera un résultat tout semblable, sauf le changement de signe de n.

Les deux intégrales J;,, S n seront évidemment indépendantes si n n^est pas un entier réel; l'intégrale générale sera donc

Si n est entier, on peut évidemment le supposer positif, car il ne figure que par son carré dans Téquation différentielle. Dans ce cas les n premiers termes de S n s'annulent, car ils contiennent en dénominateur des fonctions F d'argument entier négatif, lesquelles sont infinies. Ou aura donc

' Zà i^- « H- (X -h i) r( jjL -4- 1)

a3G TROISifeHB PARTIE. -^ CHAPITHE II.

OU, en posant [x = /i + [x',

Les deux intégrales Jn et J;i ne seront donc pas indépendantes et ne suffiront pas pour former Tintégrale générale.

189. Pour obtenir dans ce cas une nouvelle intégrale, nous supposerons que l'argument, au lieu d'être tout d'abord égal à n, soit égal k n — e, e étant infiniment petit. Nous pourrons prendre pour intégrales indépendantes, au lieu de

Jii-e et J-iï+ei J/i-e et ^^^^^ ^^« La limite de cette

dernière quantité pour e = o nous donnera l'intégrale cherchée, que nous représenterons par Y;,.

Séparons les n premiers termes du développement de J-n^t et changeons dans les autres l'indice de sommation pi en /i + |JL ; il viendra

lim^(-i).(f)

«^2li/(e)

en posant, pour abréger,

^(^) r(/H-fJL-+-l)r(e4-f*-Hl) {2)

r(/i — e-t-fx-l- Or, en appliquant la formule connue

-+-i)r(|x-i-i) Va/

aïo/j-K

OD aura

I 1^/ \ sin(/i — e— fjL)ic — r(/i — e — jx) i î-^,

tr(— /i 4-6-+- [a-m) "~ ^ ^^ 1CS

expression dont la limite pour e r= o est

— r(/l — JJl) C0S(/l — [X)7r =: (— !)« -l*-*-» r(/l -^ [Jl)

D'autre part, lim^=/'(o) = 2log-

t ^ ' o 2 r(/i-+.|x-hi)r(îJL4-i)

r'(fx-M) r'(/i4-ix4-i)

r(/i4-|JL-M)r»(|jL-+-i) r([jL4-i)r*(/i-f-|x4-i)

Substituant ces valeurs, il vient

^r(/i + H^ + i)r((x+i)L »a r(|x-i-i) r(/i + ji-(-i)J