Les fonctions J;, sont liées par la formule récurrente

(4?) —^n~ in-X 4- JrtH-i.

En effet, substituant pour les fonctions J leurs développements en série et comparant le coefficient du terme en <|./i4-2u-i dans les deux membres, on aura à vérifier Tégalité

2»-»-«H'r(jjL -M) r(/i -h |JL -h 1)

2«~i+iiir(|x-M)r(/i4-{x) 2'»-*-«i*-»r(îx)r(/i-4-ii-hi)

Or on a

r([x-hi)^iirix, r(/i-hix-M) = (/i-hîi)r(/i4-|x).

238 TnOISltaE PARTIE. — CHAPITRE II.

Substituant ces valeurs et supprimant les facteurs com muns, Tégalité à vérifier se réduira à

ce qui est évident.

On vérifiera de même cette autre formule

(48) 2™ izij«, — J^+i,

dont la combinaison avec la précédente donnera

Nous signalerons enfin les deux formules (5o) j-^œ «J«(v^^)= — {a? « J«4.i(\/^),

(5i) ^^"'•'«(V^^) -=i^'^J«-i(/-iX

qu^il est également aisé de vérifier.

191. On peut rattacher à l'équation de Bessel plusieurs équations qui se rencontrent fréquemment dans les applications.

Transformons en effet cette équation en posant

/ et V désignant de nouvelles variables ; on aura

dx = ^^t^-^cit,

dx Py ^^

ÉQUATIONS LINfiAIRES. 289

D'autre part,

Substituant les valeurs précédentes àey et de ses dérivées dans l'équation de Bessel, on aura Téquation transformée

L'équation en j^ ayant pour intégrale générale

7 = cJ„(x)4-c'J«(x), la transformée aura, pour intégrale générale

(J-« devant toutefois être remplacé par Y„ si n est entier).

On pourra donc intégrer par les transcendantes J toute équation de la forme

^V dV

car on peut disposer des quatre constantes a, ^, y, n de manière à identifier l'équation (53) avec (52).

On remarquera toutefois que, p et y ne pouvant être nuls, la transformation serait en défaut si c ou X étaient nuls. Mais alors Téquation (53) se ramène à une équation à coefficients constants (139).

Les cas particuliers les plus intéressants sont les suivants :

a4o TBOlSlbUB PARTIE. — CHAPITRB II.

correspondant k x = ±n, P = y = i, et

correspondant à a=:-) P = 5» Y = ^5 enfin l'équation de Biccati

correspondant àa = — ^, p= — ,^=2/1 ^c, /i = .