IV. — Intégraiion par des intégrales définies

i9S. L'équation de Gauss est un cas particulier de la suivante

■> = Q(')Si-«-")Q'(-)E=3

où Ç est une constante, et Q(5:), R(^) deux polynômes, tels que l'un des polynômes Q(^), ^R(^) soit de degré /i, et l'autre de degré < /i.

Nous essayerons de satisfaire à cette équation en posant

l=z fv{ii-'a:)^-'du,

U étant une fonction de u qui reste à déterminer ainsi que la ligne L d'intégration.

Substituant dans l'équation la valeur précédente et supprimant le facteur commun ( — 1)" (; — 1). • .($ — /i -i- 1), »'

£quatio:<s linéaires. 2^1

viendra

(Ç-,i)(a-x/,-«-i[Q(^) + QXT)(ii-rr) + QV)— 7^' +

/'[(; — '»)(" — a:)',-»-» Q(a) -h ( M — x)^-» R(a)] U cfa.

Déterminons U par la condition

R(«)U = ^UQ(«),

d'où

rf.UQ(«) R(tt) . , „^, , rRC") ,

et enfin

Téquation précédente deviendra

en posant, pour abréger,

(2) V=UQ(m)(w — x)5-'»=re-^ Oi"' "(M ar)5-«.

L'intégrale de ^TV sera nulle et l'équation sera satisfaite : I* Si L est un contour fermé tel que V reprenne sa valeur initiale lorsqu'on revient au point de départ;

2® Si L est une ligne telle que V s'annule à ses deux extrémités.

493. Nous allons voir, en discutant ces diverses lignes d'intégration, qu'on peut obtenir en général n intégrales particulières distinctes, dont la combinaison donnera l'intégrale générale de Téquation proposée.

J. — Cours, III. 16

La fraction ^^ — -9 décomposée en fractions simples donnera un résultat de la forme

of-y^ = ''^X-i w H- . . . -h m» tt -4- mo

Pv . . P,

où

X4-lx-+-v-f-...:=/l.

On en déduit (4) V= (w — a)«. (a -^ ^»)P.. . .(a — ^)^-''eW

en posant, pour abréger,

a, Bv I

•^ ' const.

Les fonctions U(w — ^)^~S V admettent donc comme points critiques le point x et les racines /7, 6, ... de Téquation Q = o et se reproduisent multipliées par 5*'"^, ^27c/a,^ e^^'P», ... lorsque Ton tourne autour de ces divers points.

Cela posé, soit O un point quelconque du plan. Joignonsle aux points a, 6, . . . , a: par des lacets A, B, . . . , X:

soient A, B, . . ., X les valeurs de l'intégrale /U(w — x)^^*du prise dans le sens direct le long de ces divers contours avec une détermination initiale donnée M de la fonction à intégrer. On pourra prendre pour ligne d'intégration L l'un quelconque des contours suivants : ABA^'B"', . . . . AXA~*X~', . . .; car, si l'on décrit le contour ABA^'B"*, par exemple, la fonction V se reproduira, au retour, multipliée par

ÉQUATIONS LIIfÉAIRES. a^S

La valeur [AB] de Tintégrale prise suivant le contour ABA-'B"* est donc une solution deTéqualion proposée. Il est aisé de la déterminer. En eflet, en décrivant d'abord

le lacet A, on obtiendra une première intégrale A, et V{u — x)^~* aura pour valeur finale e^"'«iM. Décrivant ensuite le lacet B, on obtient comme seconde partie de Tintégrale e^'^'^iB, et U(m — x)^"* aura pour valeur finale gîirf(a,+p,)]VI^ L'intégrale suivante, le long de A"*, serait évidemment — A si la fonction à intégrer avait pour valeur initiale e^'^'^tM (qui est sa valeur finale lorsque Ton décrit A avec la valeur initiale M); elle sera donc, dans le cas actuel, égale à — e^'^'PiA, et lJ{u — x)^"* aura pour valeur finale

Enfin rintégrale suivant B~' sera — B.

On aura donc, en réunissant ces résultats,

(6) [AB] ==: (I — e'^'POÂ — (I — e«'^'«.)B.

On obtiendra des formules semblables pour les intégrales analogues^ telles que [AX], [BX], .... On déduit immédiatement de ces relations les suivantes :