XA]=-[AX

(8) (i— e»''Ç)[AB]-+-(i — e««'«.)[BX]-h(i-e«'^'PO[XA] = o,

qui montrent que toutes les intégrales [AB], . • . s'expriment linéairement au moyen des intégrales particulières [AX], [BX], • . • [à moins toutefois que ^ ne soit un entier, auquel cas on aurait évidemment

,e««/Ç o, X = o, d'où [AX]=zo, [BX] = o, ..., de telle sorte que l'équation (8) deviendrait identique].

194. Le nombre des intégrales obtenues par ce qui précède est égal au nombre des racines distinctes de Téquation Q(w) = o. Si donc le polynôme Q a des racines égales, ou si son degré est inférieur à n, il nous faudra trouver de nouvelles intégrales particulières. Nous les obtiendrons en choi-

a44 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.

sissant la ligne d'intégration L, de telle sorte que V s'annule

à ses extrémités.

Soit a une racine multiple d'ordre [x de l'équation Q=:o.

Posons

u — a = p (ces CD -h (sin^),

et

^ =r:r(cos/?-i- isinp)

dans les formules (4)et(5)et faisons tendre p vers zéro; on aura évidemment

V=ep«. (cosa,«p 4- £ sinai<p)e'"P*"''Hl/»-<l*-»)9l-»-'"»l/'-(H'-«)?j|, 8 étant un facteur qui tend vers la limite finie

Celte expression tendra vers o ou vers oo, suivant que cos[/> — (|A — i)ç] sera négatif ou positif. Or l'équation

donne pour ç un système de 2([x — i) valeurs équi distantes, dans l'intervalle de zéro à 27c. Si du point a on mène des droites dans ces diverses directions, elles partageront les environs de ce point en 2([a — i) secteurs. Et, lorsque u tendra vers a, V tendra vers o si u se meut dans un des secteurs de rang impair, vers 00 s'il reste dans un secteur de rang pair. Si donc nous supposons (^fig* 2) que a, partant de la va-

leur a, s'en éloigne suivant le premier secteur, traverse ensuite le second secteur et revienne en a par le troisième

iecteur, la ligne A ainsi décrite pourra être prise comme igné d^ntégration, car V est nul à ses deux extrémités.

La valeur de l'intégrale particulière ainsi obtenue variera Ividemment suivant que la ligne A enveloppe quelques-uns les points 6, . . ., x ou les laisse tous en dehors. Nous adnettrons qu'elle ait été tracée de manière à satisfaire à cette lernière condition. LMntégrale ainsi obtenue ne changera >as si l'on contracte cette ligne de manière à rendre ses dinensions aussi petites que Ton voudra ; la diminution du :hamp de l'intégration sera compensée par l'accroissement le la valeur de la fonction soumise à l'intégration.

On obtiendra une autre intégrale particulière en intégrant uivant une ligne infiniment petite A' qui s'éloigne de a suivant le troisième secteur et -^ revienne parle cinquième, etc., :e qui donnera évidemment [x — i intégrales particulières.

Chaque racine multiple de l'équation Q = o donnera évilemment un résultat analogue, de telle sorte que, si \ est lul, nous aurons le nombre d'intégrales voulu.

195. Si \ n'est pas nul, cherchons ce que devient V orsque u tend vers oo. Nous aurons à poser

cos<p 4- tsm<p), — r| — == r (cos/> 4- I siD/?)

îl à faire tendre p vers oo. On aura évidemment V= ep«.-^P.-^-- [cos («1 -+- pi 4-. . .)? -H ' sin(ai 4- Pi 4- . . . )?]

e facteur 0 tendant vers l'unité.

Cette expression tendra vers o ou oo suivant le signe de 30s(/? 4- )^f ). Or l'équation cos(p 4- )v^) = o donne aX vaeurs de cp. Traçons, à partir d'un point quelconque du plan, ies droites ayant ces directions. Elles partageront le plan sn aX secteurs; pour u = oo, on aura

V=:o ou V==oo

a46 TROISlfeBIB PARTIE. — GUAPITRE II.

suivant que u sera dans un secteur de rang impair oa pair. Et si l'on suppose une ligne A partant de Tinfini dans le (2/n 4- !)**"• secteur et y retournant par le (a/n + S)^*"* (après avoir laissé à sa gauche tous les points a, 6, . . . , x), elle fournira une intégrale particulière. On en obtiendra ainsi X.

196. Nous avons ainsi obtenu dans tous les cas le nombre d'intégrales nécessaire. On pourrait en déterminer une foule d'autres. Il est clair, en effet, qu'on pourrait prendre pour ligne d'intégration :

i® Toute combinaison de lacets, telle que chaque lacet fût décrit aussi souvent dans le sens direct que dans le sens rétrograde ;

2" Toute ligne L joignant deux des points a, 6, . . . , oc, pourvu qu'elle arrive à ces points dans une direction telle, qu'on ait, en y arrivant, V= o.

Mais nous savons d'avance, et il serait d^ailleurs aisé de le vérifier, que ces intégrales sont liées linéairement aux intégrales fondamentales que nous avons déterminées.

197. Pour une valeur donnée de x, les lignes suivant lesquelles sont prises ces intégrales fondamentales peuvent être déformées à volonté sans que la valeur des intégrales soit altérée, pourvu que dans cette déformation elles ne traversent jamais les points a, 6, . . . , ^. Si l'on fait varier x d'une manière continue, ces intégrales varieront également d'une manière continue, pourvu que le mouvement de x soit accompagné, lorsque cela devient nécessaire, d'une déformation des lignes d'intégration, qui leur fasse éviter la traversée des points a, 6, . . . , x.

Ces considérations permettent de déterminer le groupe de l'équation différentielle proposée. En effet, les points critiques de cette équation sont les points a, &,..., et il est aisé de se rendre compte de la manière dont varient les intégrales fondamentales lorsque x tourne dans le sens direct autour de l'un de ces points, tel que a.

188. Les lacels B, . . . n'auronl pas changé; mais les lacets X et A, pour éviter d'être traversés par a et x^ auront dû se transformer en X' et A' {fig. 3). Or le nouveau

Fig. 3.

contour X' est évidemment équivalent à XAXA * X • et le contour A' à

XAX-«i=:XAX-«A-».A.

L'intégrale suivant X' sera donc égale à X -f- e'^^'[AX], et l'intégrale suivant A' à — [AX] -f- A. Par suite, l'intégrale

[AX] = (i — e»'^'^)A — (I — e»'^'«.) X

se trouvera transformée en

(, __ e^ru\^^X'— (i — é^''^^^)\'

= [ AX] [i — (i — e««'^) — (i — e»'^'«.) e»«'5] = e'^^'f».-*-^) [AX],

et l'une quelconque [BX] des autres intégrales [BX], [CX], . . . sera changée en

[BX] -4- (e^'^'P.- I) e«'^'t[AX].

199. Si a est une racine multiple d'ordre'p. pour l'équation Q = o, il existera [jl — i intégrales particulières I^, . . ., I^.i correspojidant à des contours fermés infiniment petits Â,

a48 TBOlSlfcMB PARTIB. — CHAPITRE H.

A', • . . passant par ce point (194). Ces contours n'étant pas traversés par x dans son mouvement pourront être conservés sans altération. Mais la fonction à intégrer contient le fac— teur (a — ^)^~"j qui se reproduit multiplié par e*^'^ lorsque^ X tourne autour de a, car il enveloppe en même temps 1( point u qui en est infiniment voisin. Les intégrales If, . . ., I|L-i se reproduiront donc multipliées par «^^*^.

Soient b une autre racine multiple de Q = o, v son ordre -:^ de multiplicité. Il existera v — i intégrales particulières correspondant à des contours fermés inflniment petits passant par 6. Le point x restant extérieur à ces contours lorsqu'il tourne autour de a, cette rotation ne changera ni les lignes d'intégration, ni la valeur du facteur (u — x)^'". Ces intégrales resteront donc inaltérées.

Enfin il en est évidemment de même des intégrales correspondant aux X racines infinies que pourrait présenter réquation Q = 0(195).

Nous avons ainsi déterminé d^une manière complète la transformation que subissent les intégrales par une rotation autour de a. On déterminerait de même la transformation opérée par une rotation autour de chacun des autres points critiques 6, ....

200. Il peut arriver, pour certaines valeurs particulières des coefficients deTéquation différentielle, que les intégrales obtenues cessent d'êlre distinctes. Ainsi, si nous supposons que ai soit un nombre entier m, Pintégrale

[AX] r= (i — e»'^'5)Â — (i — e»«'«OX

sera identiquement nulle; car, d'une part, €^"^'^1= i et. d'autre part, A = o, car la fonction à intégrer reste monodrome dans l'intérieur du lacet A. •

Pour obtenir dans ce cas l'intégrale particulière qui doit remplacer l'intégrale évanouissante, nous supposerons a, = /n -h e, e étant infiniment petit. L'intégrale [ AX] dans celte nouvelle hypothèse ne sera plus nulle, et, en la déve-

loppant en série suivant les puissances de e, on aura [AX] = [AX], -,

Le premier terme de ce développement est identiquement nul. Divisant le reste par e, nous obtiendrons une autre intégrale

qui, pour e = o, se réduira à son premier terme

«Al et (X désignant ce que deviennent les intégrales A et X lorsqu'on y remplace dans les fonctions à intégrer le facteur {u — a)*« par sa dérivée (u — a)'^ iog{u — a) pour la valeur particulière ai = m.

On pourra opérer de même dans tous les cas analogues où une combinaison linéaire des intégrales fondamentales s'annule identiquement. En faisant varier inflniment peu l'un des paramètres, convenablement choisi, cette expression cesserait de s'annuler. Sa dérivée par rapport à ce paramètre donnera l'intégrale supplémentaire dont on a besoin.

201. Considérons en particulier le cas où toutes les racines de Q(ii) sont inégales et finies; on aura

et les intégrales particulières de l'équation proposée seront

25o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE H.

données parla formule

Iap...ç= f{u - a)«-« (u- b)?-K. . (1. ~x)5-« du,

OU L est un contour fermé quelconque, tel que la fonction à intégrer reprenne sa valeur initiale après Tavoir décrit. La dilTérentiation sous le signe f donne évidemment

^!^^=(-i)<*(?-')(î-a)...(?-|x)Ia? l-p

Uéqualion différentielle à laquelle satisfait lap...^ équivaut donc à une relation linéaire entre les /i + 1 intégrales consécutives Iap...ç, Iap...,Ç-i, • • -, Iap...,Ç-/i-

D'autre part, on a évidemment

la-hi. p...Ç = lap.... Ç-+-1 4- C'a? — a) lap...|-

Cette formule et ses analogues, combinées avec la relation précédente, montrent que toutes les intégrales de la forme

oii p^ Çj . . . , r sont des entiers, s'expriment linéairement en fonction de n d'entre elles, telles que Iap...Ç-f, ••.,

Iap...Ç-/i-

Signalons encore cette formule, dont la vérifîcation est

immédiate,

âa ox oadx

202. Si les exposants a, ^, • • m i sont réels et rationnels, rinlégrale

sera une intégrale abélienne, et l'intégrale Iap...ç en sera une période.

On pouvait prévoir a priori que les périodes d'une intégrale abélienne, considérées comme fonctions de l'un des

paramètres a quîifigurent dans Finlëgrale, seraient les solutions d'une équation dilTérentielle linéaire à coefficients uniformes. En effet, soient P, P|, . . . les périodes linéairement distinctes. La forme générale des périodes sera

mP-+- /w,Pi-f-. . .,

m, /Tti, ... étant des entiers. Si nous faisons varier a d'une manière quelconque, P, P|, ... varieront d'une manière continue. Et, si a reprend sa valeur primitive, les valeurs finales de ces fonctions, étant encore des périodes, seront de la forme mP -f- /ni P| H- . . . . L'effet du contour fermé décrit par a sera donc d'opérer sur P, P|, ... une certaine substitution linéaire. L'équation linéaire

1 P Pj ...

d\ dP dP,

da da da

=rr O,

dont ces périodes sont les solutions, se reproduira multipliée par le déterminant de cette substitution lorsque a décrit ce contour; et, si nous divisons l'équation par le coefficient du premier terme, les coefficients de la nouvelle équation obtenue se reproduiront sans altération. Ce sont donc des fonctions uniformes.

203. Proposons-nous , comme application , de former l'équation différentielle à laquelle satisfont les périodes de rintégrale elliptique

considérées comme fonctions du module k. On a

kl

r dt

aSa TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.

on

kl=^- /^«""'(w — ir*(a — ^)"»e/ti,

en posant

Les périodes de cette intégrale, considérées comme fonctions de X, satisferont à Téquation diflerentielle (i) si Ton pose

R(w) =[—-+- -r-^ ri Q(u) ^ w - J .

Substituant ces valeurs, il viendra

Il reste à transformer cette expression en substituant à x

sa valeur -t-ra:*

On a

dx~^—, d'où -^^--lyt»

dk\ ,^^dkl dx ~ ^ dk'

-^ ' dk^ ' "dk)^ '^

dx^ et, en substituant,