ARA
Donc
Mais, en vertu de Th^^pothèse laite, ^ et i — t auront leur argument nul entre o et i ; donc tP~^ et (i — t)^~* seront
réels dans l'intégrale / ; celle-ci aura donc pour valeur
209. Revenons à l'inlégralc / e"-^(w^-|- i) ^ du. Soient ^fig* 6)
A. B dos lacets joignant l'origine aux points critiques / et — i\
C une droite joignant l'origine au point ;, situé à Tin-
fini dans la direction du point ;
A, B, C les valeurs de Tintégrale prise le long de ces lignes, en choisissanl celle des déterminations du radical
(w--f-i) * qui se réduit à -[- i pour la valeur Initiale u =: o, ce qui revient à adopter, parmi les divers argu-
Fig. 6.
ments de la quantité m^+ i (lesquels diffèrent les uns de* autres de multiples de 27c) celui dont la valeur initiale est nulle.
On peut obtenir une première solution en prenant pour ligne d'intégration ABA"*B"*. L'intégrale correspondante étant
on voit, en supprimant un facteur constant, que
est une solution.
On obtiendrait d'ailleurs directement cette solution en prenant pour ligne d'intégration le contour fermé AB""', à i'extrcmité duquel la fonction V reprend sa valeur initiale i- 1 ; car les deux facteurs exponentiels par lesquels
lie a été successivement multipliée sont inverses l'un de
îiutre.
^>u, en développant les exponentielles en séries,
tn ■= m
Là \\m-s-\) \ J ^ ^ ' Jn ]
Si m est impair, les deux intégrales entre parenthèses ont -évidemment les mêmes éléments et se détruisent; si m est pair =7r2iJL, ces éléments seront égaux et de signe contraire; on aura donc plus simplement
Posons 11=^ it"^^ il viendra 2 / u^\^{u^ -\- 1)""^ du z . {— i)V- i I /^~2(i -/)"" idt.
A' désignant le lacet qui joint l'origine au point i, /
,1-1 étant réel et positif ainsi que (i — /) " lorsqu'on va de
Dans ces conditions, Tintégralc suivant A' sera égale à
D'aillp.irc .'^'('«-i)
leurs e ^ «^^ — e^^i/i. En outre, si dans la formule
26a . TROISIÈVE PABTIE. — CHAPITRE II.
démonlrëe au t. I, n** 385, on» pose m =:= 2, ;; = |jl4-J, >' viendra
Subsli tuant ces valeurs^ il viendra finalement
I, -r. (I -h e««'« )i r(/i ^- \) \/^Sy
(,.>) / ,6idt(ix4-i)r(ix-i-w-+-i)
210. Nous obtiendrons une seconde solution I3 en intégrant suivant une ligne L partant du point et y rêve-
nant après avt ir enveloppé dans le sens direct la partie
de Taxe des v comprise entre — i et -{- i (/ig> G); car
e'^'{u' -f- I * s annule au point —
Posons
d'oTi
(r.J , ,r- '- , -^ A' + , = il f , + ^')e^*«'
et, par suite,
/{ étant un entier choisi de telle sorte que les deux membres de Téquation (i3) aient le même argument lorsqu'on donne à ^ sa valeur initiale + 00 et à tt la valeur correspondante
Nous adopterons pour arguments de / et de 1 -h -75 ceux
dont la valeur initiale est nulle; pour argument de x celui
qui est compris entre — -et — > pour argument initial de
M*-}- I celui qu'on obtiendrait en faisant décrire à u la ligne C et prenant zéro pour l'argument correspondant à l'origine.
Il est clair que, lorsque u décrit la ligne C, l'argument de l'un des facteurs u — /, u -h i augmente, l'autre diminue. D'ailleurs, chacun d'eux varie d'une quantité inférieure à u : donc l'argument initial à adopter pour w*-f- i sera compris entre — iz cl -\-tz.
On devra donc déterminer A*, de tojlc sorte que l'argument
du second membre de l'équation (i3) soit compris entre — t: Pl -f- t:.
Si X est à droite de l'axe des j', argx sera compris entre
et -, et l'on devra poser A --o; si x est à gauche de
cet axe, argx sera compris cnlre - et -- , et l'on devra
poser k -' i.
Cela posé, faisons u —. dans l'intégrale
elle deviendra
t avant pour valeur initiale et finale —- oo, et son argument variant de o à 27: le long de la nouvelle ligne d'intégration. En supposant, ce qui est évidemment permis, que le module de t soit plus grand que celui de x tout le long de cette
ligne, on pourra développer le facteur ( i H- - , ) par lo
formule du binôme, el l'on aura ainsi
I,:^e(i/»-i)A:ir/y r(n-^\),v^v-^^ fe-U-'^-^'V-'dl
On a d'ailleurs, en changeant [jl en n — ja — \ dans la formule (i i).
: ,r(/l-jx)
r(/*-ix :->)
Tt
,ih-i^-l ^
VT r(|x — /i-i-i)sin(/i- -ix)ic
2 Slll/i'n
Enfin
2 sin w T On aura, par suite,
211. Les deux solutions que nous venons d'obtenir sont donc, à des facteurs constants j3rès , égales à x~'^i^{x) el .r~"J w(j:), ce qui confirme un résultat déjà obtenu an nM9i.
On peut trouver deuï nouvelles solulionsls etl^ en intégrant
le long des lacets D et E joignant respectivement les points
critiques i et — i au point (.A^ • ^) î car e^^{iû H- i)
s'annule en ce dernier point. Nous préciserons le sens de ces intégrales en adoptant encore pour argument de w'H- i au commencement de chacune de ces lignes celui qui est compris entre — t: et -h 'ït.
Il est d'ailleurs aisé de déterminer les relations qui lient ces nouvelles intégrales aux précédentes. En effet, l'argument de tt^-7- I reprenant sa valeur initiale lorsqu'on décrit le contour AB ', ce contour sera équivalent au contour C~* AB"*C := C~' AC.C~*B~* C qu'on peut aisément déformer en DE~*. L'intégrale relative à ce dernier contour est I3 — I4 ; on aura donc
D'autre part, le contour L peut évidemment être transformé en DE ou en ED suivant que est à droite ou à
gauche de Taxe des y. Dans le premier cas, x sera à gauche de cet axe, et l'on aura
(16) Ii=Ij-i- eî*'*-*^'^^^.
Dans le second cas, x sera à droite de cet axe, et l'on aura
(17) lï---!* -=-c(*"-^^'^'l3.
212. Proposons-nous de déterminer une valeur approchée de I3 et de I4 lorsque le module de x est très grand. Nous admettrons, pour plus de simplicité, que /z a sa partie réelle
plus grande que «Le cas où elle serait <[ se ramène
immédiatement à celui-là, car, en |>osant I = ^"^"K, l'équation transformée en K ne dilfère de la primitive que par le signe de n.
Dans riiypothèse admise, les intégrales prises le long de cercles infiniment petits décrits autour de i et de — i sont nulles, et Ton aura évidemment
266 TROISlÈaiB PARTIE. — CHAPITRE II.
r, et r^ étant les intégrales prises suivant les droites P etQ
qui jpignent respectivement les points t et — i au point •
Soit P une droite menée à pariir du point i et faisant
avec la droite P'un ande X inférieur en valeur absolue à-»
L'intégrale suivant un arc de cercle de rayon infini trace entre P et P' sera nulle; car e"* tend vers zéro tout le long de cet arc plus rapidement qu\ine puissance négative quelconque du rayon. On pourra donc remplacer l'intégrale suivant P par l'intégrale suivant F.
Or on a sur cette dernière droite
uz=zi me* H >
t étant réel et variant de o à oo.
On en déduit
Al / ^
giUii
k étant un entier à déterminer de telle sorte que les deu:t
membres de l'équation aient le même argument le long de P.
Nous adopterons, comme précédemment, pour aigument
de X celui qui est compris entre et — > pour argument
de / celui qui s'annule sur P', pour argument de i -i
celui qui s'annule pour / = o.
Considérons sur les deux lignes P et P' deux points /?, p' infiniment voisins du point i\ l'argument de m -h t aura sensiblement la même valeur en ces deux points; et la valeur de l'argument de u — / au point p' surpassera de \ sa valeur au point/?. Or £iu point/? l'argument de a--4-i est compris
entre — « et -f- tî. Sa valeur au point />' sera donc comprise entre — tî -f- A et tt -f- A.
Mais Targument du second membre de la relation (i8) au point/)' est égal à
— - -u > — argo? 4- 2 A'ir.
Pourqu'il soit compris entre — tu-|- Aet'ït-f-X,il faudra poser k^z^o ouÂ''=:i, suivant que l'argument de x sera coinprJs
entre et - ou entre - et — ^« On aura donc, en tout état
de cause, k'=^ky le nombre k étant celui qui ligure dans
l'expression (i4) de l'intégrale I-.
Prenant donc t pour variable indépendante au lieu de u et
remarquant que e * -- i, il viendra
Il désignant l'intégrale
Or on a
Rn étant un reste dont nous aurons à discuter la valeur.
Donc
^ r({x-t-i)r(/i-(x-hi)\2j?y y^
le reste U étant donné par l'intégrale
Riais
n'est autre chose que Tintégrale
n hU. ,
prise le long d'une droite allant de l'origine jusqu'à rinCni avec un azimut \. L'intégrale de cette même fonction étant évidemment nulle sur un arc de cercle de rayon infini, compris entre celte ligne et l'axe des x, on pourra remplacer la ligne d'intégration par l'axe des x^ ce qui donnera, pour valeur de l'intégrale,
r(/i-4- [AH--J).
Nous aurons donc, pour expression approchée de H, la série
2^ r(jx-M)f(,i-ix-f--j) Vax;
et nous n'aurons plus qu'à trouver une limite supérieure du module de l'intégrale U, qui nous permette d'apprécier l'erreur commise.
213. Or e~^ ''e^' a pour module e~^*^°'^; et, si nous supposons /i :r^ a -f- P^, la quantité
, ^. n-- (Log/-+-Xi)f a— -H pi]
aura pour module
Pour obtenir, d'autre part, une limite du module de Rm> posons
f{t) et çp(/) étant des fonctions réelles. La série de Maclaurin, appliquée à ces deux fonctions séparément, donnera
fm
tm-X fni-\ (f^\ fi
/(0=/(o) w/(o)-^...-H ^-^<-^^ + --— /-(eo,
6 et 6' étant compris entre o et i; on aura donc, pour Pexpression du reste,
Or on a
et, par suite,
Soit donc M la valeur maximum du module de F"* (^) entre o et 00; on aura
|/-(^OïM, \o"'{0'l)\lM, d'où
D'ailleurs
et, si nous supposons
^ = p ( ces o -i- i sin cp ) inr p e'?,
on aura
