OS(X

correspondant à / = 2 p sin(7w — ©), et son argument ^^ qui est nul pour ^ = o, sera constamment compris entre — t: ei

Cela posé,

(Loj/M-/'|;) ^flt- l-iw-».?/)

a pour module

Si nous avons poussé ce développement assez loin pour que m soit > a — ^, le maximum de cette expression correspondra au minimum de r et sera au plus égal à

cos(X — (p) * erJK

On aura, par suite,

r(rt — m— J)

(ap)

' |cos(X — 9)1" '~'Vl?l.

214-. Nous obtiendrons donc pour limite supérieure du module de U une expression de la forme

Ke-?^ |cos(X - - 9)1 *

K désignant une constante indépendante de x et de X. D*ail- Jeurs, en posant ^cosX = -3, on aura

(cosX) « r(a-h{M-m)

(cosX)

et enfin, par suite,

iiu-KTi^^ « ■ „se-P^|cos(X-<p)r"'""' 1 |U|<Kr(aH-J -r-/M) — -.

(cosX)""i*"* P

Le second membre contient Tindélerminée A, variable entre et — et dont nous pourrons profiler pour rendre

minimum le coefficient de Nous aurons ainsi

Af étant une fonction de (p évidemment finie et continue. Soit Â son maximum; on aura

La limite ainsi obtenue pour le module du reste U est de Tordre de — > tandis (lue les modules des termes de Tex-

pression approchée de Ij sont de Tordre de --> où [jl <[ w ;

circonstance qui justifie notre formule d^approximation lorsque p sera suffisamment grand, toutes choses égales d'ailleurs.

215. Un procédé analogue permettra de trouver la valeur approchée de I'^. On substituera à la ligne d'intégration Q une autre ligne d'intégration Q' faisant avec elle un angle X

inférieur à - en valeur absolue. On aura, le long: de cette

ligne,

2S1. Nous allons démontrer qu^on peut déterminer ua système d'intégrales indépendantes

yil» •••> J'i,/!» ^11» •••» »>'î./j»

» yiii

• -«pu»

tel que les deux substitutions S, S' prennent la forme suivante :

yiki • • • y ytkf • •

^iki • • • > -^//i» • • • ••» •••> •••> ••

Vik^

^\ky • • • j "ik-i •••>•••> • • • >

^iJ'lA-» • .•,5i(//A-+-^/a). •

^i9 ^'i \ *^2) ^j ; • • • étant des couples de constantes différents; Y/A, ^'iif des fonctions linéaires de celles des intégrales y dont le premier indice est <^i\ Z/^, Z)^ des fondions linéaires de celles des intégrales z dont le premier indice est

Celte proposition étant supposée vraie pour les substitutions à moins de n variables, nous allons montrer qu'elle subsiste pour deux substitutions S, S' à n variables.

On a vu qu'il existe au moins une intégrale x que S et S' multiplient respectivement par des constantes 5, 5'. lin la prenant pour intégrale indépendante à la place d'une des intégrales primitives, telle que çî,^ S et S' prendront les formes suivantes :

S'— l'fi, .. .,©„,, a: <!»', -x-a\x, . . . , *« , -4- «;,i or, .ç'x |, les diverses quantités ^, ^' étant des fonctions linéaires de

Désignons par S, ^ les substitutions à /i — i variables

CQU Allons LINËAIBKB.

et eDfiR, par suite

!U|ïKr(«

e-P>'|cos(X--ai)|'"'

(cosîi) » ^

I.e second membre contient l'indéicrminée À, variable intre ^ - et -^ et dont nous pourrons profiter pour rendre

Af étant une fonction de cp évidemment (inie et continue. Soit A son maximum ; on aura

La limite ainsi obtenue pour le module du reste U est de

Tordre de — ■> tandis (iiie les modules des termes de l'expo,

pression approcliée de Ij sont de l'ordre de — . où jji •< m ;

circonstance qui justifie notre formule d'approximation lorsque ^ sera suffisamment grand, toules choses l'gales d'dil-

21o. L n procédé analogue permettra de trouver ta valeur approchée de \\. On sutistituera à la ligne d'intégration Q une antre ligne d'inlégration Q' faisant avec elle un angle "k

inférieur à - en valeur absolue. On aura, le long de cette

les arguments des deux membres clanl ici égaux, comme étant tous deux compris entre — tç -|- X et u -f- X. On aura, par suite,

i; = -eV «^>2 « jH„

ni-'

H| désignant ^intégrale

et enfin, en développant la puissance du binôme,

/ y' r(/i-Hi)r(/i-4-tx4-^) (zilY^ TT

Ui étant un reste dont le module a pour limite supérieure ■^j A| désignant une constante.

216. En nous bornant au premier terme des développements de la et de I4, nous aurons pour ces intégrales les valeurs asymptotiques suivantes :

/ 1\ TCi \

On en déduit, pour la fonction

(,^e«^//»)/r(/i-i-i)v/'^V2/ ' ' la valeur asymptotiquo

57rj?| J

Si X est à droite de Taxe des y^ on aura Â: = o, et cette expression se réduira à

Sjix^"^-^"-^^

S'il est à gauche, on aura Âr = i , et l'expression de viendra

- / 2 r itT

Au moyen des relations (i4) et (17) qui lient J/i(^) à I2 et cette dernière intégrale à I» et Ij, on trouvera de même la valeur approchée de J,i(x).

217. Les deux valeurs asjmptôtiques trouvées ci-dessus pour J/i(:i;) coïncident si n est la moitié d'un nombre entier.

Soit, en effet, n=-m^\ Elles se réduisent à

Vl - ces \x — ( m -H 1 ) - •

D'ailleurs, dans ce cas, les développements trouvés pour H et H| se limiteront d'eux-mêmes, le dernier terme étant celui 011 |i'. -'~iii\ H et H| seront donc des polynômes entiers

en -> de degré m et conjugués, dont le premier terme

est r(/n).

Soit

Hj z= r(m) r, - a, 1 H- . . . + ( - O^a^ (^ '^ J * J. — Cours, III. 18

aj4 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.

Les autres formules donnent pour n =^ m-i — >

^ Il t\nt />( Jt

ou, en substituant les valeurs de H, H|,

CCS