TT 1 A. I

218. M. Kummer a montré que l'intégrale générale de l'équation

■^n-ii: — ^^y = ao H- a,^ + . . . -i- a^^^xV--^

s'exprime par des intégrales définies multiples.

Soit, pour fixer les idées, jji = 3. Posons, pour abréger,

1 1C I M»» -4- C" -H tV» .

On

Cl, par suite,

djc"-»

m — Qt-3A iin-i j,«-l 1 a-*^

ou

Intégrons celte cqualion par rapport à w, v^ (v, de o à c»,

cl posons

yi^zziSv w^ X du dvdsv ; il viendra

^^p^s^- - ^\yk = - ^-'^" Mo — a-**:r M, — a-^:r«M„ Mo, M4, M2 désignant les intégrales

Mo .: S w"-3(;n-î -^dudvdw.

aw

Mi—.Su"-'--^—dudifdvp.

ov

Mj = Sw -,r-dudvdw.

ou

Ces intégrales sont des constantes indépendantes de x et de k\ car si, dans la première, par exemple, on intègre d'abord par rapport à (v, on aura

— dw=\\T' = '^ — —e ïT-

TROISIÈUB PARTIE. — CHAPITRE 11.

d'où

Mo" / / — "" '^^ *^ " dudv consl

De même pour M^ , M2.

Posons maintenant

Cette expression satisfera à Téquation

-^-j 07»/ =z ÛTo -^ «I -^ -H rt, ^- ;

si Ton établit entre les constantes C les trois relations

— MoSa-^^CA. = a.n

— M, Sa->*GA: = a,,

Il restera encore /i — 3 constantes arbitraires. On aura donc ainsi l'intégrale générale.