Soit
une équation différentielle linéaire dont les coefficients soient des fonctions elliptiques de u^ aux périodes 20)1 et 2Ci>2. Supposons que ses intégrales sofent uniformes, ce dont il est aisé de s'assurer en les développant en séries. Nous allons donner le moyen de les déterminer.
Soient fi(w), . . «i <p/i(w) un système de n intégrales indépendantes. Si nous changeons u en £^ + aa>i, l'équation transformée, laquelle est identique à l'équation primitive, admettra comme système d'intégrales indépendantes
Jp,(// 4- 2(0,), . . ., 0„(// -h 2 0),).
Ces nouvelles fonctions seront donc liées aux intégrales primitives par des relations linéaires de la forme
les c étant des constantes dont le déterminant n'est pas nul.
Le cliangcmenl de u en m -f- 2 coj dans les intégrales cp,, ..., Oft revient donc à opérer sur ces intégrales une substitution linralrc, que nous désignerons par S.
On verrait de même que le changement de u en u-\- aci>2 équivaut à une autre substitution linéaire S'.
Enfin le clianj;ement de w en w -|- 2a)j -f- 20)2 équivaudra à opérer successivement la substitution S suivie de la substitution S'y ou la substitution S', suivie de S. Les deux opéralions S et S' satisferont donc à la relation
<1) SS'-rS'S.
220. Proposons-nous de simplifier Texpression dessubstilutions S et S' en remplaçant cp<, .... 0,1 par un autre système d'intégrales indépendantes.
Soit s l'une des racines de Téquation caractéristique de S; il existera des intégrales que S multiplie pars; soient^, )^, ... celles de ces intégrales qui sont distinctes. La forme générale des intégrales qui jouissent de cette propriété sera ay -+- oi'y --{-....
Soit Y la fonction que S' fait succéder à y; SS' remplacera r par 5 Y; S' S doit produire le même résultat; or S' remplace r par Y; donc S doit transformer Y en sY ] donc Y (\st de la forme cty -f- aV'-j- ....
La substitution S' remplaçant ainsi chacune des intégrales r, y, . . . par une (onction linéaire de ces mêmes intégrales, il existera au moins une fonction linéaire x de ces intégrales que S' multiplie par une constante s'.
Nous avons donc prouvé qu'il existe au moins une intégrale jc que S et S' multiplient respectivement par des constantes s et s' ,
2yS TROISIËMB PARTIE. — - CHAPITRE II.
221. Nous allons démontrer qu'on peut déterminer un système d'intégrales indépendantes
yuy •••» 7l,/,,
J^îl» • • • » J'ï./j»
yxi,
• • • » .^Va>
-Sjj, . . . , Âî|^,„p
^21) • • • > -2î,mj>
-^{JLl*
• • • » ^^.tn.^i
tel que les deux substitutions S, S' prennent la forme suivante :
/lA> • • 'ifikf • • • -yi/lA. • • •»^l(/iA-+- Y/a), . . . •^lA» ' ' ' } ^ik-y • • • '^l*^!*» • • • î "^t(*'iAr "+" ^îk)^ • • •
y\ky • • • » J'^iAr» • • • ^xXxky • • • > ^i Kyik "+" * ia)» • • • 5|/(., . . . , Zit,y ... .Vj ^1;^., . . . . 5j (j'ijt -H ^/A )ï • • •
.Vi, 5', ; ^2, s[, ; . . • étant des couples de constantes dlflerents; Y|A, Yy^ des fonctions linéaires de celles des intégrales y dont le premier indice est <C^; ^M? 7j)vt ^^^ fondions linéaires de celles des intégrales z dont le premier indice est <[ /, etc.
Celte proposition étant supposée vraie pour les substitutions à moins de n variables, nous allons montrer qu'elle subsiste pour deux substitutions S, S' à n variables.
On a vu qu'il existe au moins une intégrale x que S et S' multiplient respectivement par des constantes 5, s'. En la prenant pour intégrale indépendante à la place d'une des intégrales primitives, telle que cs,^, S et S' prendront les formes suivantes :
les diverses quantités 4>, 4>' étant des fonctions linéaires de Désignons par S, 2' les substitutions k n — 1 variables
Sr::
L'égalité SS':=^S'S entraînera évidemment la suivante :
On pourra donc, en appliquant le théorème à ces substitutions, les mettre sous la forme (3). Le même changement dMntégrales indépendantes, appliqué à S, S', les mettra évidemment sous la forme
7i*» ■"■> ytA-y • • *i/iA-+-Ci*^, Si(yik-hYik)-^Cik^f "
5i;., ..., Zfj^^ ... S^^ik-^^lk^i •••1 Sf{Zi]^-h7An)-hdiJifXj ,.
X SX
"l., ..., Zi', ... S^Zife-^d\ifX^ . • . , ^i (^lA- -'"Z/yt) ■+'^/A^> ••
Prenons pour intégrales indépendantes, au lieu des j-, les
suivantes :
j'ik^-yik-^'^ikx;
les substitutions S, S' conserveront la forme précédente, sauf le changement de
Cif, en {s — Si) dik — 5, Kik 4- C/^, cj^. en {s'—s\)7.i,,— s\Mi^-'ri't,,,
At/s, A'-f^ étant ce que deviennent Y/a, Yj-^^, quand on y remplace les^ par les a correspondants.
Cela posé, si 5^ 5,, on pourra évidemment disposer des a de manière à faire disparaître tous les coefficients c/a- Les coefficients c^y^ disparaîtront d'ailleurs en même temps, en vertu de l'égalité SS' -— S' S. Égalons en effet les coefficients de X dans les expressions que SS' et S'S font succéder à yi/^; il viendra
(4) Si(Cif,-{- C'a.) -'-s'Cik—s\{Cik-- C/A-) \-sc[/,,
Ciff-, C^ étant ce que deviennent respectivement Y)y>. cl Y|>
28o TROISIÈME PARTIR. -- CHAPITRE II.
lorsqu'on y remplace les >^ par les c ou par les c' correspondants. Si les Cif( sont nuls, ces relations se réduisent à la
forme
(.ç,- s)c'n.-hSiCa—:o,
Ces équations sont linéaires et homogènes par rapport aux c]f^f et leur déterminant, étant une puissance de s^ — s, n'est pas nul. Elles ne peuvent donc être satisfaites que si les Cjf^ sont tous nuls.
Si5';^.ç,, on pourra de même faire disparaître les c^^; et les relations (4) montrent que les Cik disparaîtront en même temps.
Si donc le couple de constantes 5, / ne se confond avec aucun des couples 5|, s\ ; ^2, 5!^; . . ., on pourra faire dis- [)araître tous les coefficients c/a, c]^; e//.v, ^/a'» • • «î et S, S' seront ramenées à la forme requise; aux diverses classes d'intégrales y, z, ... viendra seulement se joindre une classe nouvelle, formée de la seule intégrale x. Soit, au contraire. A* ^z^ Si , s' =z s\ ; on pourrafaire disparaître les coefficients rf|>, r/|^, ... ; et l'on n'aura qu'à poser c/a = 5< /W|A, C|A= ^\ ^^îa pour ramener S et S' à la forme requise, la nouvelle intégrale X rentrant ici dans la catégorie des intégrales ^i^t, qui appartiennent à la classe des y et ont l'unité pour premier indice.
22â. Admettons donc que les intégrales indépendantes aient été choisies de manière à ramener les substitutions S, S' à la l'orme (3). Considérons en particulier une des classes formées par ces intégrales, telle que j^n, . . . , ^/a, .... Le changement de a en a + 2(o, ou w 4- 2(0a leur fera éprouver les substitutions partielles
r. j ^~l>'t^» •••'.'>'/• A-, -Si Via-, . • -1 -^1 (7/A,--H Y/;t)» . . U
^ ^ — I .)'l /» » ' ' ' y Yifi ' • • ■ ' ^ijlki • • • > ^1 ( ^>'/ A: ^~ * a- ; ' • • • I >
lesquelles devront évidemment satisfaire à la relation
(G) CICr':r.(j'rr.
ÉQUATIONS LINÉAraES. 38 1
On a, par définition,
la sommation s^élendant à toutes les valeurs du premier indice / qui sont <^ i\ et aux diverses valeurs de m correspondant à chacune de ces valeurs de /.
On voit aisément que o-t^ remplace en général y/^^ par
Si s
la sommation par rapport à /', m' s^ëtendant aux valeurs de /' inférieures à / et aux valeurs correspondantes de m'.
La substitution o-' o- rem placera j'/a par une expression analogue, où les coefficients a et b seront permutés.
Ces deux expressions doivent être identiques, en vertu de (6). En égalant les coefficients des termes en ^/ ,„•, on aura les relations
V / ) Zj ^ ^ik ^Im — ^/* ^hn ) - ^\
la sommation s*étendant à toutes les valeurs de / qui sont <; I et >' /', et aux valeurs correspondantes de m.
223. Réciproquement, soient o-, ^ deux substitutions de la forme (5) et satisfaisant à la relation (6) ou aux conditions équivalentes (7). Nous allons montrer qu'on peut conslruire des fonctions y^, . . . , ^/a qui subissent ces substitutions lorsqu'on accroît la variable u de 20)1 ou de 2(i>2, et nous déterminerons la forme la plus générale de ces fonctions.
Considérons à cet eflella fonction doublement périodique de seconde espèce
Elle admet les multiplicateurs
28a TROISIÊXB PARTIE. — CHAPITRE H.
qui se réduiront respectivement à 5|, 5',, si Ton détermine 6, a par les équations
2 0), 6 -f- 2T),a = legs,,
2U),6h- 2T),a=r legs,.
On peut toujours y satisfaire, le déterminant
étant égal à z^ 2Tzi, Posons
Lorsqu'on accroîtra a de 2a>i ou de 2a>2, les nouvelles fonctions a^ik subiront les transformations
V*^) I ^Ikt • • • ï ^iky • • • 1 ^ïk9 • • • » ^ik'^ ^ikj • • • !>
(^ ) \ ^ iky • • • I «Î^/A-» • • • ï ^ikf • • • > •^iitr'^" -^/Jt» • • • ,»
X/A, X^-;^ étant ce que deviennent Y|A, Y)^ lorsqu'on y remplace les jK/A par les j?/a. Les substitutions t, t' seront échangeables entre elles.
Il reste à obtenir l'expression des fonctions Xik*
