e Nous aurons évidemment
Ap./
Jl m J» m m • C
Au.; — o,
AV,r=:0, A' [x;. r- p.;.. , ,
et ces formules subsisteront pour i =i, si Ton convient de poser
Tout polynôme entier P en [jL|, Uj, considéré comme fonction de \u\ , peutévidemment se mettre d'une seule manière sous la forme
les A étant des polynômes en [x', dont chacun pourra à son lour se mettre d'une seule manière sous la forme
Le polynôme P pourra donc se mettre d'une seule manière, sous la forme
sB,.,.':^,-/-^;,.
225. Ces préliminaires posés, nous allons établir qu'il existe des fonctions x/k qui subissent respectivement les transformations (t\ (V) lorsque w augmente de 2w, ou de 2 0)2, et qu'elles ont pour forme générale
^l/c ~ llj*i
^/)fc^-H/>t-+-2:P;/?H/,,„
â84 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
les H désignant des fonctions elliptiques arbitraires et les P^jJ* des polynômes d'ordre i — / en |jL|, |jl'^ et entièrement déterminés; la sommation s'étendant d'ailleurs à toutes les valeurs de /inférieur à i et aux diverses valeurs de m correspondantes à chacune d*elles.
On voit tout d'abord que les fonctions x^ki • • m restant inaltérées, sont des fonctions elliptiques, telles que H|j^.
Supposons donc qu'on ait construit, de proche en proche, toutes celles des fonctions ^/a, dont le premier indice est moindre que X, et qu'elles aient la forme annoncée. Nous aurons, pour continuer l'opération, à construire des fonctions x\k que le changement de w en w -f- 2a)| ou w -h awj transforme respectivement en
Substituons aux fonctions a; /a, qui figurent dans Xxa, X^^i leurs valeurs déjà déterminées; il viendra
Xx;t^2QlïH,;„, XU^.i:Qx'riI/,„,
Qmj Qu'" étant des polynômes en [x,, |jl', , lesquels dépendent linéairement des coefficients de Xxa? XJj^; la sommation s'étendant d'ailleurs à tous les systèmes de valeurs de /, m pour lesquels / <^ X.
Les substitutions tt' et t't transforment respectivement x\k
en
^ik -'- X>jt -!-- XxA- -H û'XxJt et en
o'XxA désignant l'accroissement que subit Xxa par la substitution t'; 8X)a celui que subit XJ^^^ par la substitution t.
D'ailleurs en appliquant ces substitutions aux fonctions déjà construites, ou aux quantités X>ji-, Xxa qui en sont des fonctions linéaires, on obtient, par hypothèse, le même résultat qu'en changeant ii en u -I- 2to, ou u -j- ato., ; on aura donc
EQUATIO:fS LINÉAIRES. 285
Les fonctions elliptiques Him étant arbitraires, Tégalitë de ces deux expressions exigera que l'on ait pour tout système de valeurs de /, m où /'.^X,
Or si l'on met les polynômes Q(ï', Q'/f" sous la forme
on aura, en vertu des relations (8),
Ces deux expressions devant êlre identiques, on aura les équations de condition
Cela posé, on pourra déterminer un polynôme d'ordre X — / en[x,,(x;,
tel que ses variations
se réduisent respectivement à Q>.î*, Qx*"; ^^^ ces deux identifications donnent les équations de condition
qui sont compatibles, en vertu des relations (9). Posons maintenant
Le changement de u en u -\- mot accroîtra cette expression de
a86 TROISIÈME PARTIK. — CHAPITRE 11.
et celui de m en ^^ -|- a coj l'accroîtra de même de A^xA-f-X^. . Pour que la fonction X'\k satisfasse aux conditions requises, il sera donc nécessaire et suffisant que Ton ait
ce qui exprime que ^x^ est une fonction elliptique Hxa, d'ailleurs arbitraire.
