Les intégrales ^4A sont donc de la forme

yi*^=G(M)H,^,

jK/A-:z=G(//)[Ila-f-2:P<2«H,,„],

Mais les constantes a, b et les fonctions elliptiques H ne sont pas encore connues. Il s'agit de les déterminer.

Le procédé qui nous a permis de reconnaître que l*intégrale générale était uniforme nous a fourni la position de ses pôles c, rf, . . . et leurs ordres de multiplicité y, 8, ....

D'autre part, la fonction t^^ — raun seul pôle w = — a (lequel

disparaîtra même si a =^ o, auquel cas G(a) se réduit à une exponentielle).

Enfin les fonctions [x^, u.\ qui figurent dans les polynômes P admettent le pôle simple a = o.

Les fonctions

auront donc les pôles c^d^ . . . et le pôle inconnu — a, avec des ordres de multiplicité au plus égaux à y? 8, . . ., i; et les fonctions

pourront admettre, en outre, le pôle u = o, avec un ordre de multiplicité au plus égal à i (car si cela est vrai pour les fonctions dont le premier indice est < /, u = o sera d'un

ordre de mulliplicité / pour H/m, et d'ordre i— l pour le polynôme PyJJ*, qui est d'ordre i — /en |jL|, |x',).

On aura donc, par la décomposition en fractions simples,

H/*= CJ,ç(«-c)-..-.-4-Cr^çr-i(w-c)

-D;,.;(£^-c)-T-...-^Df^Ç^'(a--rf) -)-

-r- k\kX,{ii-\-a)-^Kik «Tvec la condition

Les termes de la dernière ligne peuvent être transformés comme il suit.

Posons

On aura

A;^C(m 4- a) -h Kik~ ■ A^[Ç( w -+- a) — î«] 4- L^.

L 2 pw — pa J

Par suite de cette transformation, la constante inconnue a ne figurera plus dans H/^ que dans les combinaisons pez, p'a.

227. il ne reste plus d'inconnu que les constantes a, 6, Q;t, . . . , Li*. On les obtiendra par la méthode des coefficients indéterminés, en substituant les valeurs ci-dessus des intégrales j^i A dans Téquation diflerentîelle.

Cherchons d'abord celles de ces intégrales

7iA-€J(w)HiA,

dont le premier indice est i et qui, par suite, sont doublement périodiques de seconde espèce. Il en existe toujours, comme nous l'avons vu.

a88 TROISIËUB PARTIE. — CHAPITRE II.

On a, en prenant la dérivée logarithmique de G (a),

— C(m -\- a)— Cl/ 4- b.

pu — pa

C^est une fonction elliptique où a et 6 ne figurent que dans les combinaisons ^a -^ b -^ b\ pa et p'a. Désignons-la, pour abréger, par I.

On aura

^ y,k -- GH,, + G'H,*-= G(n;, + III,,). ^7,* :-- G(H',, + IH,*)' -, G'(Ii;, -H IH„)

- G[(H',, -.- III,,)' -t- i(h;, -r- m,,)].

On voit donc que le résultat R de la substitution dej-^k dans Téquation différentielle est de la forme