GK

E désignant une fonction elliptique dépendant linéairement des constantes CJa? •••9L1A1 qui figurent dans la fonction elliptique H^, et rationnellement des quantités Ça H- 6 = 6', pa, p'a.

Les pôles de GE sont les points c^d, , , . avec des ordres de multiplicité au plus égaux à y -!- /i, 0 -r /i, . . . ; E peut admettre, en outre, le pôle simple — a, qui est un zéro de G. Le nombre total des pôles de E ne peut donc surpasser Y H- /i -r S -i- 71 M- - . . -h i . Si donc nous exprimons que cetle fonction a des zéros en nombre supérieur à ce chiffre, nous saurons qu^elle est identiquement nulle, et que j^i^ est une intégrale.

Nous pourrons, par exemple, développer E suivant les puissances croissantes de u, et égaler à zéro les coefficients des diverses puissances, jusqu^à celle d'ordre

ÉQUATIONS LINÉAIIIES. 28(:>

inclusivement. Les équations de condition ainsi obtenues forment un système surabondant; mais nous savons a priori qu'il a des solutions.

Ces équations sont linéaires et homogènes par rapport à C};t, ..., L|^, rationnelles par rapport à //, pa, p'a. Ces dernières quantités seront donc déterminées par des équations algébriques, auxquelles on devra joindre l'équation connue

Une fois pa^ p'^f ^' déterminés, on en déduira, par les procédés connus, a, Ça, et enfin h^-.V — ^ct\ enfin, les <^J^, . . ., L^/t s'expriment en fonction linéaire et homogène d'un ou plusieurs d'entre eux, qui resteront arbitraires.

Si le nombre total des solutions trouvées est égal à l'ordre n de l'équation, ce qui sera le cas le plus habituel, leur combinaison donnera l'intégrale générale; dans le cas contraire, il faudra déterminer de nouvelles intégrales.

228. Supposons que nous ayons construit toutes celles des intégrales yik^ . . . , 3/a, • • . ? dont le premier indice est <! X, et déterminé les fonctions linéaires correspondantes Y/*, Yrt, .... Cherchons à déterminer les intégrales y\k (s'il en existe) et les fonctions correspondantes Yy^, Y)a.

On a

/u--G(Hx*^-2P^JÎ'H/,„).

où tout est connu, sauf les coefficients indéterminés

dont dépend Hx^v, et les coefficients de Yxa? Y-^, dont les polynômes P^'/J* dépendent linéairement.

Substituons cette expression dans l'équation différentielle. Le résultat sera de la forme GExa, Ex* étant une fonction aisée à obtenir par la différentiation et telle que la somme des ordres de multiplicité de ses pôles ne surpasse pas P 4- n -I- Y -•- /i -i- . • . -T- I . D'ailleurs , cette fonction est elliptique. Eu effet, changeons a en a -î- 2(0|. Il est évidem-

J. — Cours, III. * 19

ment indifierent de faire celle opération sur j/>a avant de le substituer dans Tcquation difTérentielle ou de la faire dans le résultat de la substitution. Dans le premier cas, on change j^^a en Si (vifç — Yxa), et, comme Yx* est une fonction linéaire des intégrales déjà trouvées, le résultat de la substitution de celle nouvelle expression se réduira à 5| GExa* Donc GExa se reproduit, multiplié par 5|, quand on change m en w -1- ao), ; G jouissant de cette même propriété, Ex^t ne sera pas altéré. On verra de même qu'on ne raltère pas en changeant u en

Il suffira donc, pour annuler Exa, d'exprimer qu'elle admet plus de p -i- n -;- y -r n -.- . . . -j- i zéros. On obtient ainsi un sj'stème d'équations linéaires et homogènes pour déterminer les coefficients inconnus. Si ce syslrmc est compatible, on obtiendra des intégrales de l'espùcc cherchée. Sinon, on sera assuré que la classe des intégrales r/^ est en lirrement épuisée, et l'on fera une recherche analogue sur les autres classes d'inlégrales. On finira nécessairement par obtenir un système de n intégrales distinctes.

229. Parmi les équations qui rentrent dans le type considéré ci-dessus se trouve l'équation de Lamé

-^-\- — [n(n-i-})pu-r~ h]x::.i o,

on n est un entier positif.

L'intégration de cette équation par M. Hermile a été le point de départ de la théorie précédente.

Les intégrales n'ont aux périodes près qu'un point critique z/ = o, aux environs duquel elles sont régulières.

L'équation déterminante est

F(/') = r(r — i) — /i(/i-4-i)r=io.

Ses deux racines, — /i et /i -j- i sont l'une paire et l'autre impaire. Soit r l'une d'elles ; on aura une solution de la forme

Substituons ce développemenl de ^, ainsi que celui de pu

et égalons à zéro le coefficient du terme en u^'^^^ nous aurons la formule récurrente

dont l'application ne peut donner lieu à aucune difficulté, F(r+ 2[x-|- 2) n'étant jamais nul.

Les deux intégrales particulières ainsi obtenues sont distinctes, car Tune est paire et l'autre impaire. L'intégrale générale résultant de leur combinaison sera uniforme et aura un pôle d'ordre n au point u'-= o.

Nous allons calculer cette intégrale dans le cas le plus simple, celui où /i -- i. L'équation se réduit à

â}x Elle admet des intégrales périodiques de seconde espèce

La fonction H n'admet plus le pôle m = o, qui est déjà un pôle pour G, elle ne pourrait donc admettre que le seul pôle simple w =^ — a , mais cela est impossible ; elle se réduit donc à une constante et nous pouvons la supposer égale à l'unité.

Nous aurons donc au moins une intégrale de la forme

On

y ~ G = --^^ cf*»*.