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r — r Mo -- M, u H- Mj M* -;-...,
en posant, pour abréger,
M 113 (ja, Mo= 6<Jûr -4- d'à,
Mj ~- - b*(ja -^ b^a-i. — «r'^a, . , .,
au- w' On a enfin
pu~{- h:^ -j H- A 4- 2 Cl w' -f- . . .
Substituons ces valeurs dans Téqualion.
Le résultat sera une fonction doublement périodique de
^seconde espèce qui ne peut avoir de pôle (aux périodes près)
que pour u r= o. Si nous exprimons que les coefficients des
puissances négatives de u et le terme constant s'annulent, la
fonction, n'ayant plus de pôle, mais ayant un zéro, sera nulle.
On obtient ainsi les équations suivantes :
/iM -1- 2Mi = o, 2M2 — 2Mj — /iMqZ-zo, qui se réduisent aux deux suivantes :
G -ziz Mo = 6eja 4- t'^, o :- hM -i- 2 M, ^=iz hva -h b-^a -\- ib^' a -\- (j'ût;
b — — —-lia
et
ou
o-r:^ haa -H- ts" a,
<ja
h =: — = — —pa.
a^a aa \^^ /
Cette dernière équation donne pour la constante a deux
valeurs égales et contraires -h« et — a, auxquelles correspondent pour b deux valeurs égales et contraires, — Ça et -h s^. Nous avons donc, en général, deux solutions particulières distinctes
ail au
a et — a étant les racines de ré(|ualioii transcendante
pa — h.
230. Si h est égal à Tune des quantités e^, ^2, es, par exemple à ei, les deux racines a -— (Oj et — a = — a>i sont égales aux périodes près, et les deux solutions particulières ne sont pas linéairement distincte^, mais se réduisent à la solution unique
au
(laquelle ne diffère de a^o^ q^^e parle facteur constant c^Wi). Pour obtenir, dans ce cas, la seconde solution qui nous est nécessaire, supposons que A, au lieu d'être égal à p,, en soit infiniment voisin. L'équation pa --= h admettra les deux racines (0| 4- e et (o^ — e; nous aurons donc les deux intégrales
ej( // -■- a)| -• t)
Xi r-^-**^î«.-^6)
au
au
Leur combinaison donne l'intégrale — dont il est aisé
de trouver la limite pour e == o.
On a, en effet,
Ç ( w, -+- e ) = Ç w, 4- e Ç' tu, 4- . . .
HZ ej(// -hioj[i-t-£;(// 4-a>i)-T- . . .],
