C-'ïi^ffCw -f- 0),) / ^, , . j

^1 — îi-4-e[Ç(M-hco,)-he|tt)-h. . .]}.

QU

X2 s'obtiendra en changeant le signe de e ; aura évidemment pour limite

ou (le sera la seconde solution cherchée.

231. Cherchons encore dans quel cas Féquation de Lamé admet comme intégrale une fonction elliptique M(u) aux périodes 4<*>i et 4^2.

L'équation n'étant pas altérée par le changement de u en — u, u -\- 2tûiy « -+- 2(0,, admettra aussi comme solution les fonctions elliptiques M( — u), M{u-\- ^^i)j M(m-H2c«)2). Mais ces nouvelles intégrales ne peuvent être linéairement distinctes de M( w) ; car l'intégrale générale de l'équation ne peut être elliptique, puisque, parmi les intégrales particulières, il en est une qui est une fonction entière s'annulant pour w = o.

On aura donc

M( — u) ^= cM(w), M(w M- 20),) — c,M(tt),

M ( W -h 2 a>3 ) m Cj M ( M ),

c, c«, C2 étant des constantes. D'ailleurs, en changeant encore une fois w en — u, u -i- 20)4 ou w -l- acoo, on voit qu'on aura c =^ dzij c« = z!zi, C2-^àzi, On pourra donc écrire

M(i/) — NP,

N désignant Tune des huit expressions

(dont le choix dépendra des signes de c, C| , c^) et P une fonction elliptique paire, aux périodes aw, et 2(02, et n'ayant de pôle que pour ;/ = o : ce sera donc un polynôme entier en pu*

Il est aisé de former les dérivées successives d'une exprèstiion de celle forme. On a, en effet,

et, par suile,

il désignant un polynôme entier en u, et N| le produit complémentaire de M formé par ceux des facteurs o"ao« que N ne contient pas.

On aura, par suite,

au 2i>l

d'SP ,. cfS -,, ,

^(n'P-;-2UP';N, tr. N,P„

P^ étant un polynôme en pu.

On trouvera de même