NP^N,P,

Pa étant encore un polynôme en pu.

Le résultat de la substitution de JNP dans Téquation de ï^amé sera donc de la forme

-J^J - [«(« - i)P« - /«]NP ^ NQ,

OÙ Q est un polynôme entier en pu qui s'annulera identiquement si NP est une solution.

Soit

P = «(jlP^W -+-«|i-iP^~*/^-<-. . .-hûTo

et soit A" le nombre des facteurs de N. Le premier membre sera infini d'ordre /r + 2 [x -{- 2 pour m = o ; il en sera de même du second. Donc Q est un polynôme de degré [x -}- i, tel que

Q ^A^L^iP^-^^u-r- . . . -i- Ao.

La comparaison des valeurs principales donne immé-

Api-Hl

dialemont

ApLM = [(A-~ 2;x -H 1) (A: -t- 2tJL) — n{n -h i)] a^. Les coefficients suivants sont évidemment de la forme A[jL = Bji — ha^^ . . . , A^ = Bq — Aa©,

B(|., . . . , Bo étant des fonctions linéaires et homogènes

en CL^^ • • • î ^0* L'équation

donnera

Les autres équations

Am "^ O, • • • f Aç m^ O

fourniront ensuite les rapports des inconnues a^^ . . . , «© si leur déterminant est nul, ce qui donnera pour h une équation de degré [x + i .

Cela posé, si n est un nombre pair 2 m, on pourra supposer A" = o, jx = m, ce qui donnera m -f- i valeurs admissibles pour h.

On pourra encore poser /cr^ 2, jjl = m — i, et l'on obtiendra m valeurs pour A; soit 3 m valeurs en prenant successivement pour N les trois produits de deux facteurs qu'on peut former avec les o^ao"*

Le nombre total des valeurs de A, pour lesquelles Téquation admet une solution de la forme désirée, sera donc

Si n est un nombre impair 2/?i-t-i, il faudra supposer: r» A" r:^ I , |jL = m, d'où m -;- i solutions, ou 3(m -|- i) en prenant successivement pour N chacun des trois facteurs a^ait^ 2° ou A" =: 3, p. = m — i , d'où m solutions.

Le nombre total des valeurs de h qui fournissent des solutions de l'espèce NP sera donc

3(;yi-4-i)-T-/nrz2/i-r-i,

comme dans le cas précédent.

232. M. Halphen a montré qu'on peut ramener aux équations de M. Picard les équations

à coefiîcienls elliptiques, lorsque les rapports de leurs intétégrales sont des fonctions uniformes.

Soit, en efTet, a l'un des pôles des fonctions /?|, ..., p,i. L'équation déterminante qui correspond à ce point sera

a désignant le résidu de pi j)ar rapport au point a.

Les quotients des intégrales élant uniformes, les racines de cette équation différeront les unes des autres de nombres entiers. Si donc on désigne par /• l'une d'elles, leur somme sera égale à

nr -r- e,

e désignant un entier.

Mais celte somme est égale à

On aura donc

n(n — i) nr -\- e .— — ^^ — a.

Faisons la somme des égalités analogues pour les divers pôles a contenus dans un parallélogramme de périodes. La somme des résidus a étant nulle, il viendra

AiSr rrr entier.

Donc Sr est un nombre commensurable.

Soit m le plus petit entier tel que la quantité

m^Zr ::z E

29B TROISifeXB PARTIE. — CHAPITRE II.

soit un cnller. Posons

Si nous changeons w en // H- amw (2(0 désignant une période primitive quelconque) 7{u — a) se reproduira, multiplié par

et <y— se reproduira, multiplié par Donc P se reproduira multiplié par

il (Jm Y) (M -hw (1) — a)-f-«ir /j r — j îYi( — -+-(!) j -I-7C/ Ie

et sa dérivée logarithmique -^ sera accrue de

2mT,

/• — 2T, - tizo.

Donc -p- est une fonction elliptique aux périodes 2/7i<i>(,

Il en sera de même de -rr-y -^y • • • ? en vertu de la formule

récurrente

Pi^

P ~~ du P

d Pi*-> Pf^-» P'

Posons maintenant

La transformée en z sera

d^z P~ -rnP'

du""

-+-/>iP

du'^-^ a

^Jpi

d"-^z du'"^*

uniforme; les points critiques de -3 = '15 sont : 1" les points

ÉQUATIONS LINÊAIItES. 299

et si nous divisons par P, les coefficients seront des fonctions elliptiques aux périodes 2mio^, 2ma>2, car/?i,/?2, ... admettent ces périodes.

D'ailleurs, l'intégrale générale 5 = ^ de cette équation est

pour lesquels^ et P sont tous deux de la forme

(a — 2mi(i), -i- 2/W5a)2)'*S,

S désignant une série de puissances entières; ces points seront donc des pôles pour z; 2" si l'entier E est négatif, les

zéros de 0- — ) lesquels seront aussi des pôles pour z,

Tj'équation transformée appartiendra donc au type de M. Picard, sauf que les périodes des coefficients ne seront plus 2 (04, 2a>2, mais 2m(Ut, 2m(02.

CIIAP[TRE IIL