I. — Notions préliminaires
233. Tout système d'équations aux dérivées partielles F = o, Fj = o, ... entre des variables indépendantes x^J ..., Xn, des fonctions de ces variables W|, . . ., Um et leurs dérivées jusqu'à l'ordre p peut être remplacé par un système ne contenant que des dérivées partielles premières.
En effet, chacune des dérivées partielles d'ordre /?, qui figurent dans les équations, est, par définition, la dérivée première d'une des dérivées partielles d'ordre /> — i; celles-ci sont des dérivées premières de celles d'ordre/? — a, etc. Si donc nous prenons pour inconnues auxiliaires les dérivées partielles d'ordre n<;/?, les équations F = o, F^ = o, ... ne contiendront plus que des dérivées premières; et il en sera de même des équations qui déGnissent chacune de nos inconnues auxiliaires, et qui, jointes aux précédentes, constitueront un système évidemment équivalent au système primitif.
On peut donc se borner à considérer les systèmes d'équations simultanées aux dérivées partielles du premier ordre. 11 est même permis de supposer que les dérivées partielles n\ figurent que linéairement, à la condition de joindre aux équations différentielles certaines conditions accessoires.
Soit en effet
dui du
Xif . . . , X„ ; W,, . . . , Ufn y TT"' * * ' ^ ) — ^>
ÉQUATIONS AIX DÉRIVÉES rARTIFJ.LES. oOI
lin semblable système. Prenons pour inconnues auxiliaires
les dérivées parliclles -,— > •••» ^ '"9 que nous représente-
rons par/^H, > ' -, Pm/f Le système donne équivaudra au suivant :
. \ y '■* \'^l* • • • • ^H î ^i , . . . , Uf„ I Piij • . . 1 Pmn) '-- ^» ' »
f?//l Ôff.„
D'ailleurs, pour que F, . . . soient identiquement nuls, il faut et il suffît : r* qu'ils s'annulent pour une valeur particulière $1 de la variable jCi ; 2" que leurs dérivées par rapport à Xi soient nulles. x\ous pourrons donc remplacer les équations (i) par les sui\antcs :
pour Xt - - Ç,, et
âF ()F dF*
TVTT "■' ")Tr/^u -t- . . . -î- ~ï~~ Pmi C^) { ^ /)Ij f)nu . , àV dp„nj .
Or les équations (i ) et (4; forment un système d'équations linéaires, auquel il suffira de joindre les conditions accessoires (3).
Fj .: (), . . . , Fi-~ o
entre n variables indépendantes j:«, . . ., ^„ et m fonctions
W|, . . ., u,n sera eu «général incompatible, si le nombre i de
ses équations surpasse le nombre m des fonctions inconnues.
Supposons en efret que les équations données renferment
les dérivées partielles des fondions u jusqu'à Tordre/?. Joignons à ces équations leurs dérivées partielles successives par rapport aux diverses variables indépendantes. Il arrivera nécessairement un moment où le nombre des équations obtenues surpassera celui des fonctions u et de leurs dérivées partielles qui y figurent. En effet, lorsque nous prenons les dérivées partielles d'ordre A* des équations primitives, nousob-
tenons i—^ ; équations nouvelles: d auli*e
part, nous introduisons comme nouvelles inconnues les dérivées partielles d'ordre p -\- k des fonctions m, dont le
nombre est f?i~^ ^, Ce nombre sera
inférieur au précédent, des que A* commencera à satisfaire à
l'inégalité
A partir de ce moment, le nombre des équations succèssivement obtenues croîtra plus vite que celui des inconnues et finira par le surpasser. Eliminant alors ces inconnues, on obtiendra une ou plusieurs relations ^ = o, <ï>, = o, ... entre les variables jTi, . . . , j:,, ; celles-ci étant indépendantes par hypothèse, on voit que les équations données seront incompatibles, à moins que 4>, 4>,, ... ne soient identiquement nuls, ce qui donnera autant d'équations de condition nécessaires pour que les équations F|=:=o, ..., F|=o puissent subsister simultanément.
235. On voit de la inéme manière qu'un système de m équations aux dérivées partielles
entre .r i , . . . , j:„ et m fonctions ?/| , . . . , Um peut en général être ramené à un système d'équations
ÉQUATIONS AVX DÉRIVÉES PARTIELLES. 3o3
ne contenant plus qu'une seule fonction inconnue ?/| ; car, en joignant aux équations proposées leurs dérivées partielles successives, il arrivera un moment où le nombre des équations obtenues surpassera celui des fonctions Ui^ . . . , Um ^^ de leurs dérivées partielles. LY'limination de ces inconnues donnera de nouvelles équations 4> = o, 4>4 := o, . . , entre j?j, . . . , Xny Wi et ses dérivées partielles.
