IX
L'une au moins des équations données , par exemple
F, = o, conliendra des dt^rivées pariiellcs d'ordre r^ de la lonction {/, ; soient
CCS dérivées partielles. La dérivée -.-— sera de la forme
~j~ - C^o-T-G,/?a;-hi ol],-^'~ GiPoL[-h\ «l-î-- ••»
Gn Go. ••• n'étant pas identiquement nuls et ne contenant, ainsi que Go, aucune dérivée de «i d'ordre >> r,.
Transformons cette équation par la substitution (5); il viendra
WTT — ^li ^7; h . . . 4-^rti -T— >
K' étant linéaire par rapport aux dérivées partielles d'ordre /*f + I de la fonction Us, autres que celle que nous avons mise en évidence.
Les autres dérivées d'ordre r^ -j- 1 qui figurent dans Tex-
pression do -^ donnent un résultat analogue.
On aura enfin
Fo, r,, ... ne contenant les nouvelles dérivées partielles de //| que jusqu'à l'ordre t\.
On aura donc, pour transformée de -.— > l'expression <)F, ■ <)F,
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 3o5
R ne contenant pas la dérivée ^ ^^, • D'ailleurs le coeHicient
de -j-p~ ne peut être identiquement nul; car, en Texprimant au moyen des anciennes variables x, il devient
et comme G|, G2, ... ne sont pas identiquement nuls, îl ne peut évidemment s'annuler que pour des valeurs particulières des constantes c. En ayant soin d'éviter ces valeurs, on voit que
Cil -T — -H • . • "+" Cni n —
àfi dyn
contiendra la dérivée , ,. ^«S ce qui serait évidemment impossible, si Fj ne contenait pas la dérivée -pT^ •
237. Nous nous bornerons à considérer le cas où les équations transformées ont pour premiers membres des fonctions
distinctes des dérivées -\ — -> •••> -r-z-^- En les résolvant
par rapport à ces dérivées, nous pourrons mettre le système sous la forme normale
^ ^ àyv ~ '' "" àrr ■" ""
4>|, . . ., 4^fn étant des fonctions des variables indépendantes /i? •••ïJK/ijdes fonctions Wj, ..., u„i et de leurs dérivées partielles jusqu'à Tordre. Ti, ..., r^ respectivement (celles de ces dérivées qui figurent aux premiers membres étant exceptées).
Théorème. — Les quantités y t, ..., j^n^ Wi» •••> "m> •••» ^ ^^ ^ — ^ j • • • qui figurent dans les fonctions 4>i, ..., 4>„» étant traitées comme des variables indépendantes, soit
J. — Cours, III. ao
3o6 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
a,,..., a;,, éio-o •••» ^^0-.^ • •i*a,a,..7--- un système quelconque de valeurs de ces variables aux environs duquel
^1, ^m soient dé^^eloppables par la série de Taylor,
Soient d^ autre part
rfe^ fondions quelconques de y2y . . ., V;„ développables par la série de Taylor aux environs du système de valeurs ao, . . ., am, ^t telles en outre que Von ait en ce point
On pourra déterminer, et cela d^une seule manière^ un système de fonctions «/< , . . ., Um des variables y ^ t • • ., J^ii, développahle par la série de Taylor aux environs du point at, . . ., a^f et qui satisfasse aux équations (6) ainsi quaux conditions initiales suivantes :
Cette proposition fondamentale est due à Cauchy. M*"* de Rowalewska en a donné une démonstration élégante, que nous allons reproduire.
238. Considérons tout d'abord le cas où les équations aux dérivées partielles proposées sont du premier ordre, linéaires et homogènes par rapport aux dérivées partielles, et ne contiennent pas les variables indépendantes, de telle sorte que le système (6) se réduise à la forme
(8) ^^-y Gi,pi
(iri=i, 2. . . ., m; ^=^1, 2, . . ., m; /rz: 2, . . ., /i), où les G sont des fonctions de w<, . . . , ;/„,.
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. Soj
L'énoncé du théorème général se réduira alors au suivant :
Soient b\ . . ., b^ un système de valeurs de Ut, . . ., Umj aux environs duquel les fonctions G soient déçeloppables par la série de Taylor; ai, ..., an d^ autres constantes quelconques. Soient^ d'autre part^ Çi, ..., ç^ des fonctions de y 2, ..., ^,1, qui se réduisent respectivement à é*, ..., 6"*
pour y2= ^^i-, • • -1 J>'/i= ^nr ^^ qui soient développables par la série de Taylor aux environs de ce système de valeurs. On pourra déterminer d'une seule manière un système de fonctions a< , . . ., Um des variables y ^ , . . ., y», développables par la série de Taylor aux environs du point y^z= a^^ . . .^ yftz= an^ qui satisfassent aux équations (8), et enfin se réduisent respectivement àoi, . . . , cpm pour y ^ = a^ , Nous supposerons, pour simplifier l'écriture, que «i, ..., a,i, é*, . .., 6"* soient nuls, ce qui ne nuit pas à la généralité de la démonstration, car on pourrait au besoin prendre pour variables indépendantes Vi — Oi, . . ., yn — a« et pour fonctions inconnues Ui — ^*, ..., u„i — 6'"; enfin, considérer à la place des fonctions cf<, ..., Om les fonctions
D'après les hypothèses faites, les fonctions GJ^ sont développables en séries, de la forme
(9) Gi,= ^Ai;■i....aîi^/î»....
Ces séries étant convergentes tant que les modules de Ut. «2j • •• seront assez petits, on pourra déterminer deux constantes M, r, telles que Ton ait
iu .^ M
et, a fortiori,
* ' ' ^ ai ! aj I . . . /-«i-HXt-i-.
On aura de même
3o8 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE in.
et l'on pourra déterminer deux constantes N, p, telles que Ton ait
( " ) \^p. P.... I < —^-jjj::. — pi^ïpT^. ♦
Les fonctions cherchées W|, ..., Umj devant être développa- Lles suivant les puissances de j'i, . . ., yn pourri = o, seront de la lorme
(«2) Ui=Oi-h On 7i 4- o,., rî H- . . . ,
?/i} ?/27 ••• étant des séries qui procèdent suivant les puissances dejK27 •••ij'/i*
Remplaçons, dans les équations (8), les fonctions GJ^^, puis les fonctions Ui par les développements (9) et (12), et égalons les coefficients des mêmes puissances de^i dans les deux membres; nous obtiendrons, pour déterminer les coefficients ?Hi • • •» ?/fjL> • • •) une série d^équations de la forme suivante :
Fi,pu|.i étant une somme de termes dont chacun est le produit: 1° d'un entier positif; 2" d'un des coefficients A; 3® d'un produit de séries 'f dont le second indice ne surpasse pas (x; 4'* d'une dérivée partielle de l'une de ces fonctions y.
Les formules (i3) fourniront, par voie récurrente et sans ambiguïté, les valeurs des diverses fonctions ç/jx. sous forme de séries procédant suivant les puissances de j'2, ..., j'„^ chaque terme ayant pour coefficient un polynôme formé avec les coefficients A, B et dont chaque terme est affecté d'un facteur numérique positif.
Nous trouvons ainsi une solution unique; mais, pour prouver qu'elle est acceptable, il reste encore à établir la convergence des séries obtenues.
239. Or il est clair qu'on diminuera les chances de convergence en remplaçant les coefficients A, B par les limites supérieures (10) et ('i i) de leurs modules; mais nous allons
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. SoQ
prouver que, même dans ces conditions défavorables, la convergence subsiste lorsque y^^ • • • » ^/i sont suffisamment petits. On a, en effet, dans ce cas,
__ ?ill*""«
et de même
/?! vP«
T/ = 2 " "P."! Pi : ~ ■ " ^ 7S-"^-:.r ' ( P« -^ P34- . . . > o),
en posant, pour abréger, j'2-r- • • • -f-^'/i =^ '.
Les équations aux dérivées partielles deviendront donc
ÔUi
duu
,!(ii!:.
Y àuk
et les conditions initiales seront
<i5) Posons
Nt
W, =z. . .rrr w
^ifut)'
Les équations ( 1 4 ) et ( 1 5 ) se réduiront aux deux suivantes :
ôy,
— r m(fi — l) -T-
r ^— - -, pour Vi = o.
Or l'équation (16) étant mise sous la forme
son premier membre est le jacobien des deux fonctions i{ et
3fO* TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
/ 1 j / -f- Mm(n — i)yi' Elle équivaut donc à la rela-
tion
F étant une fonction arbitraire. Celte fonction sera déterminée par la condition (17)9 laquelle donne
ou, en posant
Çy d OU tz=z ^
Donc <]/ sera déterminé par Téquation
-^)'-"'"<"-)^. = ('-'-?)nÏt
Les deux racines de cette équation se réduisent respcctive-
/• ment à zéro et à — pour y^ =rz o. t^::- o. Aux environs de ce svs-
tème de valeurs, elles sont développables en série convergente suivant les puissances de j'i et de t. Prenant celle de ces deux séries qui s'annule pour y^ = o, t^rzOj on aura la fonction cherchée ^(J'm t)^ dans laquelle on n'aura plus qu'à substituer ^=^2 + . . --T-yn pour obtenir les développements de Wj, . . . , ///,„ qui seront évidemment convergents tant que les
modules des variables y seront moindres que , R dé-
lignant le rayon de convergence de la série 4'0'm ^) P^r rapport aux variables j'j et t,
240. La démonstration du théorème général du n® 237 se ramène aisément au cas particulier que nous venons de discuter.
Prenons, en effet, pour variables auxiliaires les dérivées partielles
qui figurent dans les équations (6) et, pour plus de symétrie, posons en outre Ui= /^o.©....* Les équations (6) et (7) deviendront
('") Pn,o,.,.,o = ^iwiy • • • » ynfPQ,o,..i • • • » Poii,oi, . >•••)>
(19) /^a..o,o.... = ??' pourri = ai et cL^^^n.
Ces dernières équations, dérivées par rapport à Vo, •• -.^/i, donneront plus généralement
(20) Pa.a <'.= Â^ Â^ pour y, =r a, et a, < r<
et, par suite,
/^i..a,...,a« = ^a,.a„ ..a« pour /i — a,, . . . , 7„~ a„.
Enfin, si Ton pose j^< = ai dans les équations (18), il
viendra
, , i ^ f ^V^-cp?. \
(2i) ;?r,.o,o,... = *i(ûr,,...,x«,?i,..M j^-— >••• 1 pourr — «i.
Aux équations (18), (19), (^o), il faut encore joindre celles qui définissent les dérivées partielles /?a,.a„...,a,„î ^ savoir
(22) — — />a.-M,o,o...., si «,</•/
et
Les relations (20) et (21) expriment d'ailleurs que les équations (23) et (18) sont satisfaites pour j^| = ai. En tenant compte de cette condition, on pourra évidemment remplacer ces équations (23) et (18) par leurs dérivées partielles par rapport à V| .
On trouve ainsi, en supposant a2>»o par exemple,
àyi àfi d^ij, . . . (^*«7„ d Vf
Si 0.2 était nul, mais as >> o, on trouverait de même
et, enfin, si a2, . . . , a,,, étaient nuls, d'où a,, > o,
Prenant enfin la dérivée partielle des équations (i8) par rapport à^i, et substituant dans le second membre aux dérivées partielles des p leurs valeurs (22), (23'), (23"), ..., (23''), il viendra
, dp ^0,0,... d^i \ â^i .
(.4) i -f-^ ^"^^ Va,.,..-.... .
Opla,,... àyr
241. Nous avons ainsi remplacé le système des équations (6) et des conditions initiales (7) par celui des équations (22), (23)', (23)", ..., (23)'" et (2,4) et des conditions initiales (20), (21). Nos nouvelles équations sont du premier ordre et linéaires; mais elles ne sont pas homogènes et contiennent encore en général les variables indépendantes j^ij . . .,^,i. Pour achever de les réduire à la forme voulue, introduisons de nouvelles variables auxiliaires ^1 , • • • ^ tn définies par les équations
Elles satisfont aux équations aux dérivées partielles
(23) —-rizl, --^—0, ..., 1— =0
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 3l3
et aux conditions initiales
(26) fi — a,, ^=Vj, ..., t„~y'n pourri^ûTi.
Il est clair que ces conditions suffisent à les déterminer. Joignons ces conditions aux équations précédentes et transformons d^ailleurs celles-ci : 1° en y remplaçant dans les dérivées partielles de ^1 les variables indépendantes j'i, ...,j'/i parles quantités équivalentes /|, ..., ^/, ; 2" en multipliant tous les termes des seconds membres qui n'ont pas en facteur
une dérivée partielle des inconnues p par ^^ > qui est évi-
demment égal à i. Cette transformation opérée, les inconnues p et t seront fournies par un système d'équations linéaires et homogènes du premier ordre, auquel on devra joindre les conditions initiales (20), (21), (26) qui ont lieu pourj'< = a,.
Les valeurs des variables ^i , . . . , /« et /?«„«,,. .,a^ pour jKi ~= «1, . . ., J^'/i= «« sont d'ailleurs a^, . . . , a„ et 6a,.a,. ..,«.• Aux environs de ce système de valeurs, les fonctions 4>| sont par hypothèse développablos suivant la série de Taylor; il en sera de même de leurs dérivées partielles.
Toutes les conditions nécessaires à l'application du théorème du n" 238 se trouvant ainsi remplies, nous obtiendrons pour les inconnues t et /?, et en particulier pour les inconnues primitives
des séries procédant suivant les puissances de ri — fl|, ..., yn — <^n et satisfaisant à toutes les conditions du problème. Les fonctions /// ne sont définies par ces séries que dans la région où celles-ci sont convergentes; mais on pourra suivre leur variation de proche en proche par les mêmes procédés que nous avons employés pour l'étude des équations difTérentielles à une seule variable indépendante.
3l4 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
242. Considérons réquation aux dérivées partielles linéaire et du premier ordre
(i) P,/?i^-...-+-P;,/?«rziZ,
où Pi, . . ., P«, Z sont des fonctions des variables indépendantes :ri, ..., Xn et de la fonction inconnue 5; /?!, ...,/>«
désignant les dérivées partielles -r-^i • • • > v— -•
La fonction z étant supposée définie par une équation implicite
cherchons à déterminer la forme de la fonction 0, de telle sorte que Téquation (1) soit satisfaite.
L^équation (?/) dérivée par rapporta xi donnera
Substituant dans (i ) les valeurs des dérivées partielles/?/ tirées des équations (iV), il viendra
Pour que Isu valeur de z tirée de (2) satisfasse à Téquation (1), il sera donc nécessaire et suffisant que Téquation (4 soit une conséquence de (a).
Cela posé, intégrons le système des équations différentielles
dx^ dxn dz
Les équations intégrales, résolues par rapport aux con stantes d'intégration C|, . . ., c^, prendront la forme
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 3l5
(fi, .. ., çp;, étant des fonctions de Xi, . . ., x„y z. On sait (42) qu'en posant
F désignant une fonction arbitraire, Téquation (4) sera identiquement satisfaite.
Nous obtiendrons donc une solution de Tcquation (i) en déterminant z par Téquation
Mais il n'est pas établi que cette solution soit la seule possible, car il n'est pas nécessaire, pour qu'on ait une solution, que Téquation (4) soit identique. Il suffit qu'elle soit satisfaite pour tous les systèmes de valeurs de j:i, . . ., Xn^ z qui satisfont à <I> = o.
Pour déterminer les autres solutions, s'il en existe, nous remarquerons que les équations (5) ayant pour intégrales générales les équations (6), les équations (5) ou les équalions équivalentes
P, dxx — P| dx^ m o, . . . , P;j dx^ — Pi dxn '-= o,
Z dxi — Pidz 7 z o
sont des combinaisons linéaires des équations
On aura donc, en désignant par An, ...; Bj, ... des fonctions de Xi, . . ., x,/, z faciles à déterminer,
(7) P,é:/.ri--Pir/j7,=iA,i^?i-f . . .-\-Aindr^„j
(8) Z r/x, — Pj dz = B, t/cp, 4- . . . -\- B^ d^^.
Multiplions les équations (7) respectivement par /?|, ...,
pij ... et retranchons-en l'équation (8). En tenant compte
de l'identité
dz :=3 />, dx^ -+-... 4- />« dXn
et posant, pour abréger,
^IkPi— Bjfc^Cjfc,
3l6 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
il viendra
(P,yî, -^- . . . -i- P„Pa Z) dxi — \ C* dog,.
Si nous supposons Téquation (i) satisfaite, cette équation se réduira à
Ckd^k=o.
Si donc les quantités Cfç ne sont pas toutes nulles, les différentielles rf'^i, ..., don seront liées par une relation linéaire, et Ton aura entre les fonctions ç une relation
C'est la solution trouvée tout à l'heure, llestc riiypothèse
vjj '■ — Oy » » • j ^A* — Oj • • • •
Ces équations, combinées avec l'équation donnée
déterminent /?4, fn^ ^ en fonction de Xi, ..., x„. Les
valeurs ainsi obtenues fourniront une solution si elles satisfont aux relations
ôz
ce qui n'aura évidemment lieu que dans des cas très exceptionnels.
