Applications, — i** Soit à intégrer Téquation aux
dérivées partielles
dz f àz ^
dur ôy
des cylindres parallèles à la droite (x = a>5,^'= bz). On
formera le système
dx dv , — — —- — dz a b
dont Fintégrale générale est
Uéquation proposée a donc pour intégrale générale
4> ( .r — cL^t y — 6 5 ) = o.
2" Considérons l'équation aux dérivées partielles
des cônes ayant leur sommet au point a, p, y. On formera
le système
rf.r dy clz
.r — a ~ j — p - — Y dont rintégrale générale est
log(.r — a) " Iog(w — y) -4- const., log(j? — P) — log(3 — y) h- const.
ou
rziCOnsl., * -=:: const.
L'intégrale cherchée sera
3" Considérons Téquation aux dérivées partielles
des surfaces de révolution autour de Taxe *— = 't- = -
Mous aurons le système
d,T dv dz
Soit rf^ la valeur commune de ces rapports ; on aura
dx =z (y7 — P-) dty dy —{uz — ^(j:) dt, dz = ( p.r — a v) dt.
3l8 TROISIÈAIE PARTIE. — CHAPITRE III.
On en déduit immédiatement les combinaisons intégrables
X dx H- y dy -h z cfc = o,
a dx -+- P fiÇy 4- Y dz ^:=zo\ d'où
x^ -h j* H- z- = const, ax -h^y -h yz = const.,
et rintégrale cherchée sera
4>( a:' -+-/=-+- 5*, ax 'h Pj-4- ^z) — o.
4** Soit, en dernier lieu, l'équation
dz âz
dx -^ dy
qui définit les fonctions homogènes de degré n en x, ^'. On
formera le système
dx dy dz
iVoii
X y nz'
— rzrconst., — =const, y x'^
L'intégrale générale sera donc
ou, en résolvant par rapport à -^^>
et enfin
x^ '-^[yj
244. Passons à Tétude des équations aux dérivées partielles du premier ordre en général.
Soit
une équation entre n variables indépendantes x^^ . . ., x«,
ÉQUATIONS AtX DÉRIVÉES PARTIKLLES. Sig
une fonction z de ces variables et n constantes arbitraires Al , . . ., a„. En éliminant ces constantes entre l'équation ^=o et ses dérivées partielles
nous obtiendrons, en général, une seule équation aux dérivées partielles
(II) r (^, .r|, . . . , ûCn \ P\y ... )/?/») =^ o.
La fonction z^ définie par l'équation (9), sera une solution de cette équation, quelles que soient les constantes a<, ..., a„.
Une semblable solution a reçu le nom A^ intégrale complète. Il est aisé d'en déduire les autres solutions de Téquation aux dérivées partielles.
On pourra, en effet, dans cette dernière équation, faire abstraction de la condition que /?<, . . . , yo„ soient les dérivées partielles de z^ pourvu qu'on y joigne la relation
qui exprime précisément cette dernière propriété.
Cela posé, l'équation (11), résultant de l'élimination de <2,, . . . , a„ entre les équations (9) et (10), sera algébriquement équivalente à celles-ci, pourvu qu'on y considère les a, non plus comme des constantes, mais comme des inconnues auxiliaires.
Nous aurons donc à déterminer les inconnues 5, a^, ..., <7„, piy . . . , /)„ par les équations (9), (10) et (12).
Cela posé, différentions l'équation (9), il viendra
-3- as -+- 3— rtjc, H- ... 4- -c— aoi 4- ... -I- 3 — «a» =-- o oz dx. ôa^ oa^
ou plus simplement, en vertu des équations (10) et (12), (i3) 3— cfûr,4-. . .-h -3 — aan^=o.
Cette nouvelle équation aux différentielles totales pourra
3aO TROISIÈME PARTIE. — CDAPITRE ITf.
remplacer Téqualion (12) pour la détermination des fonc> lions inconnues. Il existe plusieurs manières d'y satisfaire : 1" On peut d'abord poser
Ces n équations, jointes à (9) et (10), achèveront de déterminer une solution, à laquelle on donne le nom à' intégrale singulière.
a° Si les x — ne sont pas tous nuls, l'équation aux différentielles totales ( 1 3 ) montre qu'il doit exister au moins une équation de condition entre les inconnues ai, ... , a/,. Admettons qu'il en existe k distinctes, h savoir
(i4) /1--0, ..., fk — o.
On en déduira, entre les difiérentielles rfai, . . . , dam les k
relations
d/i—zo, ..., d//, — o,
dont l'équation (i3) devra être une conséquence. On aura donc identiquement, en désignant parXi, . . . , Xa des facteurs convenables,
— ^«1 -?-... -h ^ dan — y^id/i -^ . . . -h'kkd/u;
d'où, en égalant les coefficients des diverses différentielles rfa/,
Ces équations, jointes au système (9), (10), (i4 ), détermineront toutes les inconnues du problème, y compris les multiplicateurs X. Les fonctions/!, . . . , /t restent d'ailleurs arbitraires.
Le système de ces solutions, renfermant des fonctions arbitraires, se nomme Vintégrale générale.
Si nous donnons, en particulier, à k sa valeur maximum /i,
ÊQUÀTIOIfS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 321
les quantités a, étant liées par n équations, seront des constantes, d'ailleurs arbitraires. Nous retrouvons donc, comme cas particulier de Tintégrale générale^ l'intégrale complète d'où nous étions parti.
On voit par cette analyse que la recherche des solutions d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre
(i6) F(2, or,, ...jXn\Pu ...,/?„)= o
se ramène à la détermination d*une intégrale complète.
Plusieurs méthodes ont été proposées pour arriver à cette intégration ; nous allons exposer les trois principales.
