Méthode des caractéristiques. — Posons, pour abréger
et soit
(17) 5=I<^(^I, ...,^„), pi= ^-
une solution quelconque de l'équation proposée. A chaque système de valeurs de Xi, . . . , x,i correspondra un système de valeurs de zel de ses dérivées partielles /?|, . . . , p^.
Nous appellerons éléments de la solution considérée les divers systèmes de valeurs simultanées de j?i, . . . , :r„, 5, />!, ' " 1 fit qui satisfont aux équations (17).
Soit s®, .rj, p^ l'un de ces éléments. Supposons qu'on fasse varier les quantités x/ à partir de leurs valeurs initiales .1*1*, de manière à satisfaire constamment aux équations différentielles
(1») -p - =. . .= -rj- =dt,
t désignant une variable auxiliaire, dontla valeur initiale soit nulle.
I^es systèmes de valeurs successifs de ces quantités, associes aux valeurs correspondantes des quantités 5, /?/, donne-
J. — Cours, III. 21
3aa TROISIÈME partie. — CHAPITRE III.
ront une suite d'éléments de l'intégrale^ à laquelle nous donnerons le nom de caractéristique.
246. Soient>5, j:,-,/?i l'un de ces éléments; z 4- 8^, 0?/+ Sa;,-, pi-h^Pi un élément quelconque de Tintégrale, infiniment voisin de celui-là. On aura, par définition,
(ig) ^z^pi^x^'\-...-{-p^^x„y
et, en dési&rnant par Pik les dérivées secondes -r — r — »
(20) 8/7/=/>/iaj7, H- . . . H- ^^^ 8j;^.
Soit z-hdz, x/ -h dxi, Pi + dpi un nouvel élément encore infinimentvoisin du premier, mais situé sur la caractéristique; on aura de même
(2i) dz =/?, dxi-\-, . .-^-pn dx^f
(22) dpi = pndXi'\-, ..-^-pindXn-
L'équation (i6), diflérentiée par rapport aux 8, donnera
ZS^+y (X/8.r,.-+-P/8/?/) = o,
et, en remplaçant les quantités P/, 8^, 8/7/ par leurs valeurs tirées des équations (i8), (19), (20),
/4-/?|Z)§X/-h\ \ PU'-^^'^k'
Permutant les indices i et A: dans la somme double et tenant compte de l'équation (22), il viendra
et, comme les 8^/ sont entièrement arbitraires, on en déduira
Enfin la dilTérentiation de Téqualion (i 6) par rapport aux d donne
o = Z^;;+\ Xidxi-^Pidpi
et, en remplaçant les rfj?/, dpi par leurs valeurs tirées de (18) et (a3),
(24) o=:dz — \ PiPi dt.
Les éléments successifs de la caractéristique satisferont doue aux équations (18), (28), (24), qui peuvent s'écrire
(2d; p^ X,^/;,Z Yp -''^•
Ces équations différentielles, jointes à la connaissance des valeurs initiales 5®, x]^ p^ des variables z, xi, piy déterminent complètement la loi de leur variation. Elles sont d'ailleurs indépendantes de la fonction <>. Nous obtenons donc ce résultat remarquable :
Toute intégrale qui contient Pélément >5®, x]^ p^ contiendra tous les éléments de la caractéristique correspond dante.
247. Les équations différentielles (2$), intégrées en partant du système de valeurs initiales z^^ x^j p^j donneront, pour Zy Xi, piy au moins tant que les quantités Z, X/, P/, n'auront pas de points critiques, des valeurs parfaitement
déterminées
/ z =/{t,z\xlpi),
{pi--=U^,z%xlp^).
Ce système d'équations représentera une caractéristique pourvu que les valeurs ^®, x% p^ satisfassent à l'équation
(27) ^{z',xl ...,xlpl ...,/;J) = o,
qui caractérise les éléments des intégrales.
3a4 TROISIÈ^TE PABTIE. — CHAPITRE III.
Les valeurs des variables z, a:/, ^i correspondant ai x divers élémenls des intégrales sont ainsi exprimées en fooction des 2/1 -H 2 paramètres /, 5®, a-^^p^, ces derniers vérifiant l'équation (27).
En laissant z^, ^n Pl constants et faisant varier t^ on obtiendra une infinité d'éléments formant une caractéristique. On doit toutefois excepter le cas où les valeurs de z^^ x", /)J annuleraient simultanément toutes les quantités P/, X| +jD|Z, car les intégrales des équations (a5)^ se réduisant alors à
seraient indépendantes de t, et la caractéristique se réduirait à son élément initial.
Enfin, en faisant varier 5®, ^/,/>®, on passera d'une caractéristique à l'autre.
Soit maintenant
(28) ^rrz^(.r„ ...,a:,,), pi =
ÔJCt
une intégrale quelconque. Pour qu'elle contienne un élément donné Zj x/, />/, il faut et il suffit qu'elle contienne l'élément initial 5^, .rj*, p^ situé sur la même caractéristique, ce qui donne les équations de condition
Ces n ■+• I équations, jointes aux équations (26) et (27**, caractériseront les éléments qui appartiennent à l'intégrait. On retrouvera donc les équations (28) de l'intégrale en éliminant les paramètres t, 5^, x^, p^ entre les équations (26},
2iS. Réciproquement, considérons l'ensemble des caractéristiques pour lesquelles les paramètres z^, x] , p^ sont liés par n -4- ï équations de condition quelconques
(30) CJ = (), ..., TîT,^ =: O.
Entre ces équations et les équations (26) 61(27), on pourra éliminer les paramètres z®, ^?, /?f , ^, et Ton obtiendra ainsi, entre les variables z^ Xi^ pi, n + i équations,
d'où Ton pourra tirer en général les valeurs de z et des pi en l'onction des Xi.
Le système des éléments qui satisfont à ces équations constituera une intégrale si les valeurs ainsi obtenues satisfont aux relations suivantes :
(3i) F (5; a:,, ..., vr„ ;/?,,... ,/^„) = o
et
<^") p'=dj;
2i9. L'équation (3i) est identiquement satisfaite. Soit on cfTct, 3, Xij Pi un élément quelconque du sjslème considéré.
En donnant aux paramètres t et z^y x^ ^ p] des accroissements infîniment petits, dt et 83**, SxJ*, 8/?°, ces derniers compatibles avec les équations (27) et (3o), on obtiendra un élément z H- As, Xi-\- At/, pi-\- ^pi infîniment voisin du premier, et les diirérentielles totales A3, Aj?/, A/?/ seront évidemment de la forme rf^ + Ss, rfx/-f-8j^/î rf/>i-f-8/?i, en désignant par dzjdxi^ dpi\es différentielles partielles provenant de la variation de t, par 83, 8x1, 8/7/ celles qui proviennent de la variation des autres paramètres, 3®, x^ y p] ,
Les différentielles rf3, rfx/, dpi satisfont aux équations (25), d'où l'on déduit aisément les combinaisons suivantes
{ 33 ) dz — \ Pi dxi =z o,
(34) o = 7.dz-\-\ (Xidxi-^-Pidpi)z=z ^dt.
Donc F est indépendant de t. D'ailleurs, pour r = o, il se
réduit à
qui est nul en vertu de l'équation de condition (27).
250. Il reste encore à satisfaire aux équations (32). Ce système d'équations est équivalent à l'équation aux différentielles totales
A^ — \ Pi Lxi = o.
Remplaçant Ajs, A^/ par dZ'\-Zz^ dxi + Sj?/, et tenant compte de (33), cette égalité se change en
