Les équations homogènes

Leur premier membre se reproduisant à un facteur près quand on y remplace :r, y par (i 4- i)x^ (i 4- t)y^ elles admettront comme multiplicateur la quantité j — r — •

On peut le vérifier aisément par un changement de variable. Posons, en effet,

y z=i ux^ d'oii dy z=z u dx -k- X du\ l'équation deviendra

u dx -h X du — ff{u)dx=zo^ et, si nous la divisons par le facteur

il viendra

dx du

ÉQUATIONS DIFFÉRBirriBLLES ORDINAIRES. a3

équation dont le premier membre est une différentielle exacte, les variables étant séparées.

Soient Uq une valeur particulière de la variable auxiliaire u ; Xo la valeur correspondante de Xj laquelle pourra être choisie arbitrairement. L'équation précédente, intégrée de Uq à £/, donnera

, X r" du

du

On aura donc exprimé x et y = ux en fonction de la variable auxiliaire u et de la constante arbitraire x^