Les équations linéaires, de la forme

PetQ désignant des fonctions de x seul.

L'équation ne change pas si Ton y remplace j^ par j^ -|- eTj, >1 étant une fonction de x définie par Téquation

Elle admet donc le multiplicateur -• On a effectivement Intégrant, il viendra

d'où

ui fonction auxiliaire t) qui figare dans cette formule est

a4 TROISlftMB PARTIE. ~ CHÀPITRB I.

une solution choisie à volonté de l'équation (6), qui ne diffère de la proposée que par la suppression du dernier terme. Cette équation s'intègre immédiatement en séparant les variables. Il viendra

d'où

logT) z=z I Fdx-h logCt,

Pdx

C| désignant une constante arbitraire.

19. Un grand nombre d'équations différentielles peuvent se ramener aux types précédents par des changements de variables.

Considérons d'abord l'équation

dy __ / ax -{- by -h c \ dx ^''\a'x-\- b'y-^-c'J

Si aV — ba! n'est pas nul, posons

ax -h by -h c=^lf a'x -\- b^f -\- c'=it^]

d'où

adx -^ bdy=^d^, a! dx -\- U dy z=l dt[^

c?j7 = A e/5 -h B f/ï), âT/ = A' t/| -+- B' rfn.

L'équation transformée

k'd!i-^Wdr, (\\

sera manifestement homogène.

Soity au contraire,

ab' — ba'=:o,

d*où

a' X -^ by -h c' = m{ax -^ by-i-c) -h n.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIEBS. 35

Le second membre de l'équation proposée sera de la forme

Prenons ax + 6^ -|- c = $ pour variable nouvelle, à la place de x par exemple. On aura

adx-^ bdy=zd^, dx=Udi-bdy),

ei Téquation transformée deviendra

d^-bdy ~^^^' ou

Les variables sont séparées. On obtiendra donc jk en fonclion de \ par une quadrature, et Téquation

ax -\- by -^-0^:^^

donnera la valeur correspondante de x,

SO. L'équation de Bernoulli OÙ P et Q sont des fonctions de a:, peut s'écrire

V — m dx

^l se changera immédiatement en une équation linéaire, si *on prend ^*~'" pour variable à la place de^.

21. L'équation peut être intégrée complètement dès qu*on en connaît une

a6 TROISifcME PARTIE. — CHAPITRE 1.

solution particulière. Soit, en effet, y^ cette solution : posons

l'équation transformée sera

et, comme Ton a par hypothèse

elle se réduit à

^ =(aR/. + Q);;-f-R5».

C'est une équation de BemouUi.