Pi 8a?/ = o

Désignons par U le ^premier membre de cette équation, et cherchons comment il varie avec t.

On aura

i/U '=Ldlz — \ dpi ooTi — \ pid ùXii

d'ailleurs

c?85 = Sd/5=\ {ùpidxi-h Pid^xi).

Donc

dV z= \ ( 8/7/ dxi — dpi 8a?/)

ou, en remplaçant les dxij dpi par leurs valeurs tirées des équations (25),

d\} —V ( P/ Zpi -h X/ Ixi -+- Zpi Ixi) dt ; mais l'équation F = o, différentiée par rapport aux S, donne

d'où

d\5 — —zUz-S pi^xi\dC = —Z\]di.

ÉQUATIONS AUX DÉRIYÉES PARTIELLES. Saj

Cette équation intégrée donnera

- r zdt

Uo désignant la valeur initiale de U.

Il est clair que, tant que Z n'aura pas de points critiques, comme nous Pavons supposé, l'exponentielle restera finie. Donc, pour que U soit identiquement nul, il sera nécessaire et suffisant qu'on ait

(35) o = Uo = S50 — y pj 8^?.

251. Les solutions de cette équation aux différent ielles totales se trouvent aisément pnr la méthode du n"* 2i4.

Cette équation montre d'abord que z^ est une fonction des ar". D'ailleurs, les 2/1 -4- 1 quantités z®, x^^ p] étant liées par l'équation F = o et les /i + i relations (3o), dont nous cher chons à déterminer la forme, il existera une relation au moins entre les quantités j?^. Supposons qu'il en existe k distinctes, telles que

et soit en outre

On déduira de ces relations par la différentiation

L'équation (35) devant être une conséquence de celles-là, on aura identiquement

Uo = 8W — y /?? 8:rf = Xj 8V, 4- . . . -f- X* 8V*,

les \ étant des multiplicateurs convenables. Égalant séparément à zéro les coefficients des diverses différentielles 8j??,

BsS TBOISIËIIE PARTIE. — CHAPITRE lU.

on aura les n équations

qui, jointes aifx équations (^6), (27), (36), (37), reprësenleronl rintégrale, les fonctions W, W|, . . ., Wk restant arbitraires.

252. La solution précédente donne lieu à diverses remarques :

I® Le système d'éléments déterminé par les équations précédentes ne représente une intégrale, dans le sens attaché jusqu'ici à ce mot, que si Ton peut en tirer les valeurs explicites des quantités ^, pi en fonction des xi^ ceux-ci restant indépendants. Il n'en serait pas ainsi dans le cas particulier où Ton pourrait déduire de ces équations une ou plusieurs relations entre les Xi. La considération de ces systèmes, qui ne fournissent pas des intégrales proprement dites, est pourtant utile dans beaucoup de cas. Pour en tenir compte, il conviendra d'élargir la définition de l'intégrale en donnant ce nom à tout système d'éléments z, ^/, /?/ dépendant de n variables indépendantes et satisfaisant aux relations

F =: o, ^-3 = /^i dx^ 4- ...-+- /?n dxn^

2" Nous avons admis dans notre analyse que le système des valeurs initiales z^^ x^ , />J représentait un point ordinaire pour les fonctions Z, X/, P/ et n'annulait pas simultanément les quantités P/, X/-|-/?/Z. S'il existait donc quelque intégrale dont tous les éléments fussent des points critiques de Z, X|, P/ ou annulassent les P/ et les X/ ■+• ptL^ elles échapperaient à la méthode précédente; mais il est clair que ces intégrales singulières ne peuvent se rencontrer que dans des cas particuliers.

253. Parmi les intégrales fournies par notre analyse, il en est deux qui méritent une attention particulière.

fqi:ations aux dêuivêes partielles. 329

La première s'oblient en posant k = n. Les quantités z^, x^j satisfaisant ainsi à /i + i relations, seront des constantes; leurs différentielles ^z^, o.r" seront donc nulles et l'équation (35) sera identiquement satisfaite.

On voit donc que les équations (26), (27) de la caractéristique représentent une intégrale si l'on y considère les z^y xj comme des constantes arbitraires et les p^ comme des inconnues auxiliaires.

L'intégrale ainsi obtenue est une intégrale complète, car elle contient n (et même /i + O constantes arbitraires. D'autre part, on ne peut déduire des équations qui la définissent aucune équation aux dérivées partielles

distincte de la proposée F = (); car, si Ton avait une semblable identité^ en y faisant / = o, on trouverait

r 1 ( -S , .r j , . . . , j:,, ^ p^, . . . y />^^ ) r= o, relation qui ne résulte pas des équations (26), (27)-

2oi. Ou obtiendra une autre intégrale remarquable en admettant qu'il n'existe entre les paramètres z^, x^^ que les deux relations

(89) 5« = 'r( j;^, . . . , .rj), a:] = const.

Les autres équations à joindre à celles de la caractéristique pour obtenir l'intégrale seront, d'après l'analyse précédente,

Pour la valeur particulière Xi = :rj, on aurar = o, a;a = ^J,..., z=^z^. Ces valeurs initiales étant liées par la relation (Sp), on voit que nous avons résolu le problème de détern^iner une intégrale z satisfaisant à la condition

z = V(a:,, ,,,yX„) pour a?, 3= a?^,

33o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.

W désignant une fonction arbitraire. L'existence d'une semblable intégrale avait déjà été établie au n° 235.

255. Lorsque le nombre des variables indépendantes se réduit à deux, les résultats qui précèdent peuvent suinterprêter géométriquement.

Une intégrale z = ^{x^y x^ représente une surface. Chaque système de valeurs de z^ a?i, x^ représente un point; p^^ p^ sont les coefficients de l'équation du plan tangent. Chaque élément de l'intégrale définit donc un point et le plan tangent correspondant.

L'équation aux dérivées partielles

devient, en y remplaçant /7| , ^^2 par leurs valeurs tirées des équations de la normale,

i\ Xy $2 Xi Ç — 2

Pi "" P% "" — I '

équation d'un c6ne, dont la normale sera une génératrice.

Une caractéristique représentera une courbe et la développable circonscrite à la surface intégrale le long de cette courbe, et le théorème du n° 246 pourra s'énoncer ainsi :

Deux sur/aces intégrales tangentes en un point ^®, xj, xl sont tangentes tout le long de la caractéristique déterminée par ce point et le plan tangent correspondant.

Toute surface intégrale aura pour génératrices des caractéristiques. En particulier, l'intégrale complète du n" 2S3 sera formée par l'ensemble des caractéristiques issues d^un même point.

256. Première méthode de Jacobi. — Soit à déterminer une intégrale complète de l'équation

On peut réduire le problème au cas où z ne figure pas explicitement dans l'équation.

Supposons en effet z déterminé par Téquation

On en déduira

Substituant les valeurs de ^i , * • -^ Pn ainsi obtenues dans (4o), il viendra

(43) F = ^(z,Xiy ...,^«,

Si donc nous déterminons une fonction V des n -h i variables z^ x^^ ..., Xn qui satisfasse identiquement à cette équation (laquelle ne contient pas V explicitement), on obtiendra une solution de Téquation primitive en déterminant z

par Téquation

Si d'ailleurs la solution V que Ton a trouvée contient n constantes arbitraires 6|, . . . , hni de telle sorte que le jaco-

bien J des quantités -^ — par rapport à ces constantes ne soit

pas nul, la valeur de z sera une intégrale complète de l'équation primitive; car, d'une part, elle contient n constantes arbitraires et, d'autre part, le jacobien Ji des quantités

-7 \-pi -^ par rapport aux constantes h ne sera pas identiquement nul; car, en y donnant aux quantités pi les valeurs particulières o, il se réduit à J. Donc on pourra tirer des équations (4^) les valeurs des constantes pour les substituer dans (4i )> ^® 4"^ fournira une seule équation F= o.

257. L'équation <> = o étant résolue, pour plus de simplicité, par rapport à -p> prendra la forme

Désignons par H ce que devient le second terme de celte

équation lorsqu'on y remplace les dérivées partielles -r— par

des indéterminées jDi*; et formons les équations différentielles ordinaires

,,t,. dxi d\\ dpi d\l

(45) -y-izr^— , -— — —

dz opi dz oxi

Nous allons établir que la détermination d'une solution V de l'équation (44) satisfaisant aux conditions requises et l'intégration du système canonique (45) sont deux problèmes entièrement équivalents.

258. Supposons, en effet, qu'on ait obtenu la solution demandée

Les équations

où les ai désignent de nouvelles constantes arbitraires, seront l'intégrale générale du système (45).

En effet, les équations (46), différentiées par rapport à la variable indépendantes, donnent

d»V V ^'V dxk dpt

, dx, dz ^je dXi ôxtc dz dz <47) j d'\ Y <^'V dxk __ ^

I dbi dz ^ic dbi ôxfc dz

Mais, d'autre part, en remplaçant dans l'identité (44) les -r— par leurs valeurs p^ elle deviendra

cl, en prenant les dérivées partielles, par rapport aux Xi et

ÉQUATIONS AUX DÉRIYÉES PARTIKLLBS. 333

aux t|, on trouvera

ôbidz ^itàj'k àbi

u'ailleurs on a

''*= ^*' d'où

Substituons ces valeurs dans les équations (48) et retranchons ensuite chacune d'elles de sa correspondante du système (47); il viendra

^kàridxf, \ dz dpk) " dz ôxt^

^^k Obi ôxk \ dz ôpkj Ces équations sont linéaires et homogènes par rapport

. . dXfc Ô\\ dpi d\\ r\» -Il 1 j».

aux (i nanti tes -,- r — > —. h . — • D ailleurs le detcrmi-

* dz Opk dz Oxi

nant des coefficients n'est autre chose que le jacobien J des

dérivées partielles ^ — par rapport à 64, ..., 6;,, lequel, par

hypothèse, n'est pas nul. Nous obtenons donc, comme conséquence des équations (46), le système d'équations différentielles

dxk ÔW dpi m

dz upic dz ôxi

qui n'est autre que le système (45).

239. Uécipro(|iieinent, supposons que par un procédé quelconque nous ayons réussi à obtenir une intégrale générale des écjuations (45). Elle fournira les valeurs des j?/, /?/

en fonction de >s et de an constantes arbitraires C|, . . ., Cm. Soient d'ailleurs a/, bi les valeurs des Xg^ pi pour une valeur initiale donnée z^ de la variable z. On pourra déterminer les constantes c au moyen des a/, 6|. Substituant ces valeurs dans les équations intégrales, celles-<)i prendront la forme

(50) pt = <p/(5, «,,..., a„, ôj, ... , 6»),

où les a/, 6/ peuvent être considérés comme de nouveUes constantes arbitraires.

Le jacobien I des fonctions// par rapport à ai, . . . , a^ n^est pas identiquement nul ; car, pour la valeur particulière z=z z^^ fi se réduisant à a/, I aura pour valeur l'unité.

Les équations (49) peuvent donc être résolues par rapport aux ai et fourniront les valeurs de ces quantités en fonction des z^ X£, 6/. Il résulte de là que toute fonction des quantités z, Xi, p^ ai, bi peut s'exprimer à volonté, soit par les z^ aif bi seulement, soit par les ^, Xi^ bg,

S60. Cela posé, désignons par U ce que devient la quantité

lorsqu'on l'exprime au moyen de -3, a,-, 6/; et considérons l'expression

Changeons simultanément z en z-{-dz, et a/, 6/ en û/-h Sa/, 6/4- 26/ ; Xi sera accru de la quantité

dont nous représenterons respectivement les deux termes par dxi^ èxi] Pi et V éprouveront des accroissements analogues

\pi=:dpi'h ^Pii

(5i) ^\ = dV-h^V = lJdz'hS {ak^bk-^bi.lak)'^ f IMd». Or on a

ou, en supprimant les termes qui se détruisent et remplaçant -^ — 9 -X — par leurs valeurs tirées des équations différentielles (45)

D'ailleurs

D'autre part,

Substituant ces valeurs dans (5i), il viendra =\ (Pk ^J^k 4- ak Ibf.) — II dz.

Celle relalion eolre les diflférentielles totales AV, Ax^i, 86a, dz montre que, si Ton exprime V en fonction des variables 3, Xfty bhi on aura

Les équations (62) donnent, entre les variables z^ .rj^, pk et les constantes a^, fr^f ^^ relations nécessairement distinctes; car chacune d'elles contient dans son second membre une quantité p ou a qui ne figure pas dans les autres. Ces équations ne sont donc autre chose que le système des équations intégrales (49) 6t (5o) mises sous une forme nouvelle.

Quant à l'équation (53), elle se transforme, lorsqu'on y

remplace les p/^ qui figurent dans H par leurs valeurs-^ — >

en Téquation aux dérivées partielles (44)*

La solution V que nous avons ainsi obtenue pour celte équation satisfait aux conditions requises; car elle contient n constantes arbitraires 6|, . . ., 6/,, et d'autre part le

jacobien J des dérivées — r P*^ rapport à ces constantes n'est pas identiquement nul; car, en donnant à z la valeur particulière 3", -c — = pk se réduisant à 6a, J sera égal à l'unité.

On voit immédiatement que si, à la solution V que nous venons de trouver, on ajoute une nouvelle constante arbitraire a, on aura une nouvelle solution V -|- a à /i 4- i constantes arbitraires, et qui sera une solution complète de (44)-

261 . Nouvelle méthode de Jacobl et Mayer, — Les deux méthodes précédentes pour Tintégration dos équations aux dérivées partielles du premier ordre ont pour caractère coinnuin de ramener le problème à rinlégralion complète d'un système d'équations aux diirércnlicllcs ordinaires.

Jacobi a donné une nouvelle méthode, considcrablemcnl

perfectionnée depuis par MM. Lie et Mayer, dans laquelle on considère successivement une série de systèmes d^équations difTérentielles, dans chacun desquels il suffit de déterminer une seule intégrale. Cette méthode s'applique d'ailleurs sans difficulté, ainsi que nous allons le voir, à la recherche des solutions communes à plusieurs équations aux dérivées partielles simultanées.

Soient

ces équations, où nous supposerons pour plus de simplicité qu'on ait fait disparaître la fonction inconnue par Tartifice du n^ 256. Pour que ces équations aient une solution commune, il faut et il suffit qu'on puisse déterminer des fonctions Pi des variables indépendantes jTi, qui satisfassent à la fois à ces équations et aux relations

qui expriment que /^i^/j^i -[-... -h/^^r/x^ est une différentielle exacte; car l'intégration de cette différentielle donnera immédiatement la valeur correspondante de z.

262» Soient Fa = o, Fp = o deux quelconques des équations données. Prenons la dérivée de la première par rapport

à Xi\ il viendra

ç)Fa ^V' f)Fa ôpk àxi Z^kùpk àxi

Multipliant par -^ et sommant par rapport à i, il vient

Zdi àxi àpi ZàiZàk àpi dpk àxi On trouvera de même, en permutant a et p,

Zài àxi àpi Zm Zàk àpi dpk àxi

J. — Cours ^ III. la

338 TROISIÈME PARTIS. -— CHAPITRE lU.

Retranchons cette équation de la précédente après avoir permuté les indices de sommation i et k dans la somme double; il vient

Zài Zàk àpi dpk \ dxi dxk)

Mais la somme double s'annule en vertu des équations (55). On aura donc simplement

Ainsi, des équations primitives F| = o, .*., Fin= o, jointes aux conditions (55), on déduit entre les Xi, pi de nouvelles

relations

(Fa, Fp) = o.

Si parmi ces équations il en est qui ne soient pas une conséquence algébrique des équations (54)» on pourra les leur adjoindre, recommencer les mêmes opérations sur le système ainsi complété, et ainsi de suite. On arrivera finalement, soit à un système contenant plus de n équations distinctes, auquel cas le problème sera impossible, soit à un système

(67) Fi = o, ..., F,t=o,

tel que les équations nouvelles (Fa, Fp)= o qui s'en déduisent, ou soient identiquement satisfaites, ou soient, tout au moins, une conséquence algébrique des précédentes.

Lorsque cette dernière circonstance se présente, elle pourrait donner lieu à quelque incertitude. Pour la lever, résolvons les équations (57) par rapport à [jl des quantités/? qui y figurent; elles prendront la forme

Les nouvelles équations

(/?a — /a, /?^— yp) = 0,

ÉQOÀTIOIVS AUX DÉRIYÊES PARTIELLES. SSg

qui se déduisent de celles-là, ne contiennent plus/>i, .. >ip^j elles ne peuvent donc être une conséquence des équations précédentes. Elles fourniront donc des relations nouvelles, qui permettront de continuer la série de nos opérations, à moins qu'elles ne soient identiquement satisfaites.

Nous arriverons donc nécessairement, ou à constater l'impossibilité du problème, ou à former un système

(57) Fi = o, ..., F,A=o, jouissant de la propriété qu'on ail identiquement

(58) (Fa, Fp) = o.

Un semblable système a reçu le nom de système complet.

Une équation unique F| = o peut être considérée comme constituant un cas particulier des systèmes complets, correspondant à [JL = I.

263. Étant donné, en général, un système complet tel que (57), cherchons à déterminer une nouvelle équation

qui, jointe aux précédentes, forme encore un système complet.

Le premier membre de cette nouvelle équation devra satis* faire aux [x équations simultanées aux dérivées partielles

Ces équations linéaires forment un système jacobien, d'après la définition du n^ 63.

En eOet, on a

Zài\àa:i dpi âp, ôxi) Zdk\dxk dpk dpk dxk) 2ji\àXi dpt dpi dxi) Zdk\dxk dpk dpk dx^J^

340 TROISIÈMB PARTIS. — GHAPITRB III.

en posant, pour abréger.

dxi dpidpk dpi d3:idpk\ à „

d^ <?«F. dj^ d'F, ( ~ dp, ^*'«' *^P>'

dxi àpidpt dpt dxidpk

dP^ d'Fp <?F, <?'Fp

Oxi dpidxi, dpt dxidxi, f <^ /p e- \

dxi dpidxie dpi dxidx/c

Mais (Fa, Fp) est identiquement nul; donc les Aj^, Bjtsont nuls, et notre proposition est démontrée.

Le système (69) admet donc des solutions et son intégration se ramène à celle d'une seule équation linéaire aux dérivées partielles à in — [jl variables, ou, ce qui revient au même, à l'intégration d'un système de m — p. équations linéaires ordinaires. On connaît d'ailleurs [x solutions du système, à savoir F|, . . . , ¥^, L'ordre du système s'abaisse donc encore de [x unités et se réduit k in — 2[jl.

264. Supposons qu'on en ait trouvé une intégrale f,, laquelle, en tant que fonction des />, soit distincte de F|, . . ., Fpt. U est clair qu'on peut y ajouter une constante arbitraire ai , sans cesser d'avoir une intégrale. Donc le système

sera complet.

On déterminera de même une nouvelle équation <pa -f- ^2=0 contenant une constante arbitraire a^ et formant avec les précédentes un système complet, en trouvant une intégrale d'un système d'équations différentielles d'ordre m — 2 p. — 2, et l'on continuera de même jusqu'à ce qu'on ait obtenu un système complet

r I ^z o, • • • > t^ jx ^^^ o,

F{i+i =?!-+- «1 = 0, ..., F;,i=©;,.jxH- a«^pL=:o.

ÉQUATIONS AUX DÉBITÉES PÀRTIBLtBS. 34 1

Les valeurs des />/, fournies par ce système, rendront Pi dXi-i-, . .-i- pndx„ différentielle exacte; car, en tenant compte des relations (Fa, Fp) = o, les équations (56) se réduiront à

ZàiZdkdpi Opk\dXi dxk)

Le déterminant R des quantités -p^ n*est pas nul, car nous

avons opéré de telle sorte que les F|, ..., Yn fussent des fonctions distinctes des/>/; donc les quantités

Y dF^/dpk dpi\ ^kàpk\àxi dxk)

que ces coefficients multiplient seront nulles. D'ailleurs le

déterminant des coefficients -r-^ est encore égal à R et dif-

opk férent de zéro. On aura donc

àpk àpi__^ dxj dxic '

ce quMl fallait démontrer.

265. Les quantités />i, ...^pn étant déterminées par les équations F| = o, . . ., F,, = o, il ne restera plus qu'à intégrer la différentielle exacte />i dx^ + . . . -H /?« dx^» Oo trouvera ainsi

a étant une nouvelle constante arbitraire.

Nous obtenons de cette manière une solution du système des équations aux dérivées partielles Fi = o, . . . , Fpt = o, contenant n — [x -h i constantes arbitraires, et qu'on pourra appeler une solution complète du système.

En prenant les dérivées partielles de z par rapport aux diverses variables X| , , , . y x», on obtiendra les équations

34a TROISIEME PARTIS. — CIIÀPITRR III.

manifestement équivalentes aux équations

F, =:o, ..., F,x = o, <p, 4-01 = 0, ..., <p«-jx-+-ûr«|i = o.

De cette solution complète on déduira immédiatement toutes les solutions du système

(60) Fi=o, ..., Fjjt = o.

En effet, soient z une semblable solution ; /7| , ..., p^ ses dérivées partielles ; enfin a^, . . . , cin-^^ ^ des inconnues auxiliaires, déterminées par les relations

f « — ^(^U • • •» ^ny ÛTi, . . ., a^-^) — «= O.

On aura, en différentiant cette dernière équation, D'ailleurs, des équations (60) et (61), on déduit

et, comme

dz "= Pi dxi -f- . . . H- Pf^ dx^^

l'équation de condition {^1) se réduira à

(63) -~- r/a. H- . . . H- da^-^ -4- rfa = o.

Cette équation aux différentielles totales s'intégrera comme au n° 24.4.

266. Il existe une classe particulière d'équations aux dérivées partielles auxquelles on peut étendre la méthode d'intégration par différentiation exposée au n^ 3i pour les équations différentielles ordinaires.

Soient, en effet, Z, X|, . . . , X,^, P|, ..., P^, p des fonc-

lions des 2/i -+- i variables 5, ^i, . . • , Xnj />«> • • • » Pn^ satisfaisant identiquement à la relation

1 =zp(dz — pidxi — ... — pndx^)*

Supposons que, les variables x^^ ..., ^n restant indépendantes, on pose

dz dz

et qu'on veuille déterminer z par l'équation

Z=zo,

on aura là une équation aux dérivées partielles du premier ordre qu'il s'agit d'intégrer.

En la différentiant, on aura

dL = o

et, en tirant la valeur de cFL de l'identité (64) et remarquant qu'on a par hypothèse

dz z=r /?, dXi -h, . ,-h p^ dXn^

il viendra

P,e/X, + ... + P„rfX;, = o.

On pourra satisfaire à cette équation aux différentielles totales :

1^ Ou bien en posant

Pi = o, ..., P„ = o:

ces équations, jointes à Z= o, détermineront une intégrale singulière ;

a^ Ou bien en posant entre les X un certain nombre d'équations de condition

344 TROISifcXE PÀRTn. — GHAPITBB III.

qui, jointes aux suivantes,

P/ :=^ A, -jr; h ... -h X^

âXi "dX

et à l'équation Z = o, fourniront une intégrale générale.

Pour trouver la forme générale des équations aux dérivées partielles du premier ordre auxquelles la méthode précédente est applicable, nous aurons à déterminer, par le procédé qui a déjà été exposé plusieurs fois, la forme générale des fonctions Z, X/, P|-, p qui satisfont à l'équation aux différentielles totales (64)*

267. L*équation aux dilTérentielles totales (64) équivaut évidemment au système des équations suivantes aux dérivées partielles

ô7j \^ ,^ dXk

= — pph

dpi

Ces équations peuvent être remplacées par d'autres, d^une forme très remarquable, et que nous allons établir.

Nous désignerons, pour abréger, par -^ — l'opération T" \- Pi-^z* et par le symbole [UV] l'expression

^i\àpi dxi dpi dxi) A. la place des équations (66), on peut écrire les suivantes

qui s'en déduisent, en y ajoutant la première équation mal» tipliée par />/.

Cela posé, donnons aux variables indépendantes z, jt/, pi deux systèmes distincts d'accroissements infiniment petits dzy dxif dpi et $2, Sâ?i, S/>/, satisfaisant aux relations

(69) dz=:\ pi dxij 85 = \ pi dxi.

Soient rfZ, rfX/, û^/ et SZ, SX/, 8P| les dilTérentielles correspondantes de Z, X/, P|.

L'identité

^ — / P/ dKi=p (dz —V />/ rfo?/ j ,

différentiée par rapport aux S, donnera, en tenant compte de (69),

è dl — y (8P^ dXi-^ F, 8 dXi)

=:p 8c?-s— \ (8/>/cfa:/-f-/>/8c/a:/) .

Permutant les d avec les 8 et retranchant la nouvelle équation ainsi obtenue de la précédente, il viendra

(70) y {dPi 8X/ — d^i 8P/) = pV {dpi 8a?/— c/o?/ 8/>/). Or on a, d'après la relation (6g),

de même

Substituons ces valeurs dans l'idenbté (70) et égalons sé« parement à zéro les coefficients des diverses difiTérentielles

346 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE m.

dpki dxki ^' viendra

d'où, en changeant les S en éf et résolvant par rapport auf quantités dx^^ dpki

dxj^=z

iim-^-f,^)'

dpk dXt

Ces équations doivent être identiques à celles que l'on obtiendrait en résolvant les équations (71), (72) par rapport aux dxk, dfk* Les deux déterminants

dxk

dxt

I dPf P àpk

I dP^ P dx/c

dX, àpk

àpk

i dXi

P àpi

1 dX^ P dxk

satisfont donc à la relation AA| = i .

Mais, d'autre part, si dans A^ on permute les n premières lignes avec les n dernières, puis les n premières colonnes

%vec les n dernières, si Ton fait sortir du détermiDant les facteurs - et — ly communs à une même ligne ou à une même

colonne, et enfin, si Ton permute les lignes avec les colonneSi il viendra

De cette équation, combinée avec la précédente, on déduit

Donc, si p n'est pas nul, A sera dilTérent de zéro. On en déduit que les fonctions Z, X/, P/ sont indépendanles. Considérons en effet leur jacobien

dZ dZ

dxi

dX,

dxx

dP,.

dz dxx

dpn

dX,

àpn

dp,

En stjoutant aux colonnes de rang 2, . . ., /i-h i la première colonne, respectivement multipliée par /^i, . . •^pni on aura

dZ dZ dZ

àpn

dXy

dxx

dXt

dX,

dxy

dPn

dz dxi

àpn

àPn àpa

Retranchons de la première ligne les n suivantes, respectivement multipliées par P|, • . . , P;, ; il viendra, en vertu des

THOISlfeMB PARTIE. — CHÀPITRK III.

équations (65), (67), (68),

dX,

<tx,

dX,

dx^

dpn

dP„

dx^

dp„

= pA =

nr p»-^*.

Donc J n'est pas nul.

268. Soit maintenant u une fonction quelconque de s, jt/, />/. On aura

ou, en substituant pour dxk, dpk les valeurs (73),

Faisons en particulier u = Xa, puis m = P/t; il ^dendra

pefX;t=^^([P/X;t]e«/-[X,X,]^,),

pe«>^=^^([P,P;t]^^-[X/P*]^/).

Les difTérentielles âfXi*, (fP/ étant indépendantes, ces équations devront être identiques ; on en déduit

Faisons enfin t^ = Z. L'identité (64) donne, en remarquant que dz — \pidxi= o,

dZ=\PidXi.

On aura donc ces nouvelles relations

[P,Z] = pP„ [X,Z] = o,

qui y jointes aux équations (74)9 seront équivalentes à la relation (64).

269. Supposons qu'on ait trouvé un système de /i+i fonctions indépendantes Z, X/, satisfaisant aux relations .

[XtX,] = o, [X,Z] = o.

On pourra déterminer sans Idifficulté et d'une seule manière les n -h I autres fonctions P/, p par les équations

Ôpi