Soit

, a\ Tff àz dz d*z \

une équation aux dérivées partielles entre les variables indépendantes Xiy . »»j Xn et une fonction inconnue z. On pourra remplacer cette équation par le sjrstème des deux suivantes :

dz — \ Pi dxi -=. o.

Soient Z, X/, P/ des fonctions de z^ Xi^ pi déterminées comme ci-dessus, de manière à satisfaire à l'identité

dZ-\l\dXi^p(dz-~\ptdxiy

Substituant dans les équations (77) les valeurs de z^ J?/, pti

-^ '. -en fonction de Z, X/, P/ et de leurs dérivées par-

tielles par rapport à X|, X2, . . . , on aura de nouvelles équations

*( Z, Xt, . . .,X;„ P|, . . ., P„, . . ., ^^» • • > ~^y^.^ " 'h

dZ—S\\dXi — o,

équivalentes à Téquation aux dérivées partielles

^/ „ ^ dZ dZ dZ d*Z \

*V^' '^" • • •• ^'■' dx;" ■ ■ ' dx;' ■ ■ ■ ' 5x;' ■ • • ' âx7dxi' • ■ 7'

Cette équation transformée est du même ordre que la primitive.

ÉQUATIONS AUX DÉRIYÉES PARTIELLES. 3Sl

271 • Les transformations de ce genre, auxquelles M. Lie a donné le nom de transformations de contact, ont une grande importance. L'une des plus simples est la suivante, déjà considérée par Legendre,

C'est bien une transformation de contact, car on a

dL — \ P/^X; = — c/j-h\ {pidxi-^ Xidpi)^\ Xidpi

Cette transformation est d'ailleurs réciproque, car on déduit des équations ci-dessus, résolues par rapport à 2, Xi^ pij

5 = - Z -h^ P,Xi, Xt= P„ piz=: X,.

IIL — Équations aux dérivées partielles du second ordre.

272. Parmi les équations aux dérivées partielles à deux variables indépendantes et d'ordre supérieur au premier, la plus simple est évidemment l'équation monôme

Il est facile de trouver son intégrale générale.

En effet, prenons pour variable auxiliaire la dérivée

-^—- == a ; on aura

dx

Donc, pour une valeur constante de y^ la quantité u, considérée comme fonction de x seul, aura sa dérivée m**^'"* nulle ; elle sera donc de la forme

Aq -t~ Aj X —\- ... — f- A.fji—\X y

35a TROISIEME PARTIE. — CHAPITRE III.

Ao, • • •« Am-f étant des quantités indépendantes de x et, par suite, des fonctions, d'ailleurs arbitraires, de la seule variable Y'

La valeur de u étant ainsi déterminée, on aura

-r — — • t:^ Aq -H Aj ce -\- . . « -H Aj|„| CC •

Désignons par Yo» ..•> Y^-f des fonctions de y^ ayant respectivement pour dérivée /i^*"** A©, . . . , Am i. L'équation précédente admettra la solution particulière

; = Vo -i- Y,^ -h. . .-h Y^,a:'»-».

Pour obtenir la solution générale, posons

L'équation deviendra et donnera

i;r= Xo-f- X|7 -H. . .-+- X;,, V"-*,

Xo, . . ., X;i i étant des fonctions arbitraires de x. On aura donc finalement

5 = Yo -+- Y, a: -h . . . -I- Y^,, x'"'\ H- Xo -h Xi7 4- . . . -i- X«, /''-».

D'ailleurs Aq, . . . , A;„-i étant des fonctions arbitraires de^, leurs intégrales n*^""' Yq, . . . , Yn-^ seront également des fonctions arbitraires.

En particulier, l'équation du second ordre

aura pour intégrale

5 = X-hY.