Considérons avec Euier l'équation plus générale
ax- ôx ay a y*
a, 6, c étant des constantes.
Changeons de variables indépendantes, en posant
et, ^, Y) ^ étant des constantes.
On aura
âx al ôr^ à y aç ari
fP f ô â \^
LVquation transformée sera donc la suivante :
(aa'-+-2^?a3 -hcV) -.^ -h (av'-h 2Z>y8 H- co*) ~
-h 2[r?aY -+- b{7Z -+- Py) -h cp3] ^^ =o Soit en particulier
X| et ^2 étant les deux racines de Téquation
a -\-ib\ -HcX* = o.
d^z d'z , Les termes en -^y -r-^ disparaîtront, et Téquation transformée, se réduisant à
aura pour intégrale générale
f el O désignant des fonctions arbitraires.
Si l'équation en X a ses deux racines égales, les deux nouvelles variables Ç et tj ne seront pas distinctes. Le procédé J. — Cours, III. aS
précédent doit donc être légèrement modifié. On prendra, dans ce cas, a== i, p=X et on laissera y et 8 arbitraires.
Les quantités a ■+- 6X, 6 -|- cX étant nulles, le terme en -^-rs^annulera; Téquation se réduira à
et aura pour intégrale générale
S74. La méthode précédente, convenablement généralisée, permet de ramener à une forme plus simple Téquation
do;-* oji^ Of à y*
où A, B, G sont des fonctions de x^y, et M une fonction de dz dz
Soient, en effet, Ç, r\ deux fonctions de x, y^ que nous prendrons pour nouvelles variables indépendantes; on aura
ôz dz f?> dz dti
ôx ô\ ôx dr\ ôx
ôz dz d\ dz d'r\
ôy ~ 0% Oy dri dy
ôx^ "" ()ï* \dx) "^ ôrr \dx) ^'^ d\ Or, Ox ôx dz ô'^i dz d'r^
Ôl dx^ "^ dr^ dx^ '
à^z ô^z d\ d\ d^z dr, dr^
dxdy ' ô\* dx dy dri^ dx dy
,à'j(d\ dr^ , dA d\\ . dz d^l . dz d^ii
d^^d^i \dx dy dx dy) d\ dxdy dT\ dx ôv d^z d^zfd\y d^z/driY d'z d^. dn
dy' d'^' \dyj " d-n^ \dyj ^ d\ dr^ dy dy dz d^\ dz d'r,
d\ dy^ dri dy^
Siibslltuant ces valeurs dans l'équation proposée, on aura une transformée de même forme
A'^+2B'44-+C''^-HM' = o,
OU
Ces deux coerficients s'annulent donc si Ton prend pour \ et 7^ deux intégrales distinctes de l'équation aux dérivées partielles du premier ordre
Le premier membre de cette équation est un produit de
deux facteurs X-r — h a-;-» )v| -5 h M-i -=r-' En les égalant
ôje ' (if ox ^ ay °
sépar^*ment à zéro, on aura deux équations linéaires du premier ordre; leur intégration donnera les fonctions Ç, y), dont l'introduction comme variables indépendantes réduira la proposée à la forme plus simple
Cette méthode serait en défaut si le premier membre de (i)
était un carré parfait; car S et yj, déterminées par une même
équation linéaire, ne seraient pas distinctes. Mais, en prenant
dans ce cas, pour t), une intégrale de cette équation et, pour Ç,
une fonction quelconque, on voit aisément que B' s'annulera
ainsi que C, de sorte qu'on obtiendra une transformée de la
forme
d^z A âz ôz\
