Parmi les équations de la forme (2), nous considé

356 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE lU.

rerons en particulier Téquation de Laplace

(3) ^=- + M^+N^+Pc + Q=o,

OÙ M, N, P, Q sont des fonctions de x^ y seulement. En prenant pour variable auxiliaire la quantité

Téquation proposée pourra s'écrire

(5) — 4-Na-hQ-^ A5 = o,

en posant, pour abréger,

ox

L'équation (3) est donc équivalente au système des deux équations simultanées (4) et (5). Ce système s'intègre immédiatement si A = o. En cflet, l'équation

ne contenant de dérivation que par rapport à ar, deviendra^ pour une valeur constante de^, une équation aux différentielles ordinaires, linéaire et du premier ordre, dont on déterminera aisément l'intégrale générale sous la forme

U\ étant une intégrale particulière et C une quantité constante pour >' constant et, par suite, une fonction de y seul, d'ailleurs arbitraire.

Substituons la valeur de u ainsi trouvée dans l'équation (4). Celte équation, ne contenant de dérivation que par rapport à >', pourra de môme s'intégrer comme une équation aux difTércnllelles ordinaires, à la condition de remplacer la con-

stante d'Intégration par une fonction arbitraire de x. On aura donc, pour z^ une expression où figurent deux fonctions arbitraires, l'une de x^ l'autre de y.

276. Supposons, en second lieu, que A soit différent de zéro. L'équation (5) donnera

= -ifë-N„.Q).

Substituons cette valeur dans (4) et posons, pour abréger,

Mi=M — -r--5-=M 5-2 — ,

\ oy ay

a y A Oy oy ôy dx

il viendra

équation de même forme que la primitive. Si elle peut être intégrée, la formule (6) donnera la valeur de z.

Cette intégration pourra se faire immédiatement si l'on a

* ox dx oy oy ox

= . y -^2A-^-j--hMN — P.

ox oy oy

Sinon, opérons sur la transformée comme nous l'avons fait sur l'équation primitive ; nous ramènerons son intégra- ^on \ celle d'une nouvelle transformée

dx dy dx ây

laquelle pourra se faire si Ton a

°-^*- dxdr ^ '^^ dj?

Continuant de mémey nous aurons un nouveau cas d^intégrabilité, si la quantité

dMogA, ^•- da7()/ ^^^* ^*

est nulle, et ainsi de suite.

277. L'équation primitive ne changeant pas de forme si Ton y permute :r et M avec y et N, nous obtiendrons évidemment une seconde série de cas d^ntégrabilité analogue à la précédente en formant successivement les quantités

ôx a y ox a y

ôxdv

Si Tune d'elles s'annule, on arrivera à une transformée intégrable.