Considérons Téquation de Liouvîlle

dx ôy Posons

Il viendra

EQUATIONS AUX DÉRITÉES PARTIELLES. ibg

et, en prenant la dérivée par rapport à^,

oxoy oy ox ^

Cette équation peut s^écrire ainsi

OU, en intégrant,

g XQ« = F(r).

Soit i([y)z=. —r v.^ • une solution particulière de cette équation; on aura

dy ^ ' ^ aX /''

et ces équations n^apprendront rien sur les fonctions <]; et y, la fonction F étant arbitraire.

Pour avoir là solution générale, posons

u étant une nouvelle variable, il viendra

du fir) . ,

ày /'(y)

ou, en multipliant par — '^9

|.qz)+x/'(^)=o.

36o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.

Intégrant par rapport à^, il vient

VO) + ?('») = o.

d'où

et cdAd

279. Étant donnée une équation aux dérivées partielles du second ordre

où nous posons, pour abréger, ^ =/^» jr= 7» ^ = '•» •••.

proposons-nous de lui appliquer la transformation de Legendre. Soient

les nouvelles variables, et désignons par P, Qj R, S, T les dérivées partielles w ' -jy > -] — ; » • • • • On aura

cTLjzix dp -^ y dq -h/? dx -\- q dy — dz ^=: X dp '\- y dq -=. X d\ -h y dY^ d'où

5=zPX4-QY-Z.

On aura ensuite

dX= dp z=: r dx -h s dy , dY =:dq =s dx -^ t ^y ûfa7 = c/Pz=2R^-+-S^, dy = e/Q = S ^/X h- T ^ V,

et, en éliminant rfX et cfY,

dx = (Rr -h b5) dx -h (R5 H- SO dy,

dy ■=. (Sr H- T5) dx -h (S5 -4- T/) dy\

d^où

Rr4-S5 = i, R5-^S/=o,

Sr -+-T5^o, S5 -+-T/^i, et enfin