HT-S«' *"■ RT-S»' RT
L'équation transformée sera donc
F( rX-l-QY — Z, P, Q,X, Y, jTnTZTs*' — \'^ S* ' rt S*/ ^^^'
280. Nous allons appliquer cette transformation à l'équation aux dérivées partielles des surfaces dont les rayons de courbure principaux sont égaux et de signe contraire.
Nous avons donné (Calcul différentiel y n°337) Téquation du second degré, qui détermine ces rayons de courbure. Égalant à zéro la somme de ses racines, on obtiendra Téqiiation différentielle cherchée
Par la transformation de Legendre, elle deviendra
(8) (l -HX«)R -h 2XYS -+- (I -h Y')Tr=: O.
Différentiant par rapport à X, on trouvera (9) (i-^X')^4-2XY^-f-(i-4-Y«)^^ + 2XR-^2YS = o.
Mais on a
dX
dx „
dP ~ dY~
dx -dY'
dS
dT
dX~
Jx«'
~ dXdY'
dX-
- dY*-
~ dY*
L'équation (9) peut donc s'écrire
+ aX^+aY^y = o.
La difTérentiation par rapport à Y donnerait pour y la même équation aux dérivées partielles. Enfin, en tenant compte de la relation (8), on vérifiera aisément que
i;=:PX-+-QY— Z = ^X-H.rY — Z
satisfait encore à cette même équation.
Pour intégrer l'équation (10), nous la simplifierons suivant la méthode du n^ 274, en remplaçant X, Y par de nouvelles variables indépendantes Ç, 7^, qui satisfassent à Téquation aux dérivées partielles
Cette dernière équation, décomposée en facteurs, donne la suivante :
(.1) (i+X«)^+(XYrpv'-.-X'-Y')^, = o,
dont Pintégration se ramène à celle de Péquation différentielle ordinaire
dX dY
ou
(12) (i-i-X^)^=XYq=v/-i-X»-Y^.
Prenons la dérivée de celte équation et remplaçons-y -7zr par sa valeur; il viendra
d'où
-j^ =1 const.
L'intégrale générale de (12) sera donc
=1 const.,
XY=pv^-i-\*-Y»
de sorte que les nouvelles variables indépendantes à prendre seront les suivantes :
, iH-X* XY-f-\/— r-X' — Y«
"^ XY— v^-i— X« — Y»"" 1-+-^'
__ i-hX' __XY-v/-i-^X^-Y«
"^""XY+v^— i-X> — Y» ■" i-^Y«
Éliminons le radical entre les deux équations équivalentes qui donnent ^; il viendra
i4-X«4-(i-hY»)Ç«— aXYÇ^o, d'où
(i4) X=Yt-+-v/-i-5^
On trouvera de même (i5) X=YT)-hv/-i-V.
De ces deux équations on tirera
K — ri 5 — 7|
L'équation (10), exprimée au moyen des nouvelles variables Ç, T,, prendra la forme
OÙ les coefficients M, N ont pour valeurs N = (i + X') O, + aXY -î^ +
d\' OXdY
Or ces deux coefficients sont nuls. En effet, réquation (ii) à laquelle satisfont i et tj peut aisément se mettre sous les deux formes équivalentes
(«6) (XY±v/-i-X'-Y')^J+(n-Y«)^=o,
Ajoutons à cette dernière équation la dérivée de (i i) par rapport à X et celle de (i6) par rapport à Y ; il viendra
(,+X.)^-3-ï + .XY^j^^+(,+Y«)^^.,
V du -. Ou
o\ oY
Prenant successivement pour u les fonctions Ç, rj, on aura M = o, N = o.
Uéquation transformée se réduira donc à
et aura pour intégrale générale
*(Ç)-4-V(ti), <I> et ^V étant des fonctions arbitraires.
281 . Il résulte de Tanalyse qui précède que les surfaces cherchées appartiennent à celles dont les coordonnées peuvent s'exprimer en fonction de deux paramètres Ç, tj par des équations de la forme
^=<ï>,($)^-^,(TJ.
Ces dernières surfaces jouissent de la propriété géométrique d'être engendrées (et cela de deux manières difTérenles) par la translation d'une génératrice de forme invariable. Il est clair en effet que les courbes r, = const. représentent les diverses positions d'une même courbe déplacée parallèlement à elle-même. De même pour les courbes Ç = const.
Nous allons poursuivre l'étude du problème, pour achever de préciser la nature des surfaces cherchées.
282. Puisque x est la somme d'une fonction de i et d'une fonction derj, nous pourrons poser
f et ^ étant arbitraires. Cela posé, on a
dZ
d'où
Z =3 r.r ri\ =f^'{^)dX -h A' (rO dX,
Y étant supposé constant dans l'intégration. Or les équations (i4) et (i5) donnent, dans cette hypothèse,
d\z=zYd\-^ds/—i-'\'' = Ydr^ 4- ^v^- 1 — V.
Substituant ces deux valeurs de rfXdans les intégrales correspondantes, et intégrant par parties le second terme de cha-
366 TROISIÈME PARTIR. — CnAPlTRK III.
cune d'elles, il viendra
C désignant une fonction de Y.
Pour obtenir maintenant y^ nous aurons à prendre la dérivée partielle de celte expression par rapport à Y, en supposant que les variables indépendantes soient X, Y. On a, dans cette hypothèse, en prenant les dérivées partielles des équations (i4) et (i5),
En tenant compte de ces relations, la dérivée de Z se réduira à
MaîsjK doit être de Ja forme ^(i) -f- V(7|); et son dernier
terme -r^ est une fonction de Y, qui ne peut être de cette
forme que s'il se réduit à une constante. D'ailleurs on peut fondre cette constante dans la fonction arbitraire cp, de telle sorte qu'on ait simplement
La quantité Cqui figure encore dans l'expression de Zsera une constante qu'on peut supprimer en la fondant avec les intégrales.
Il ne reste plus qu'à déterminer la quantité
En y substituant les valeurs trouvées de x, y^ Z et tenant
compte des relations (i4) et (i5), il viendra
Nous avons ainsi exprime les trois coordonnées j?, y^ z des surfaces cherchées au moyen des paramètres Ç, tj.
283. Considérons l'équation aux dérivées partielles du premier ordre
où w, V sont des fonctions données de x, y^ z, /?, q, dont l'une au moins contienne p ou gr, et ^ une fonction arbitraire.
Prenons les dérivées partielles de l'équation. Il viendra
ô'P Vdu du du du'\
du \^djc ôz dp à'i J
O't* V ()u du du du~\
du \ Of dz dp dq J
d'P \ dv di> di' ôv'\
dv \dy dz dp dq j
Eliminant le rapport -— : - > on obtiendra une équation
du second ordre, de la forme
(18) II/-4-2K5-f-L/-+-iM4-N(r^ — 5*) = o,
où II, K, L, M, N sont des fonctions de x, y^ z^ />, q.
L'équation (17) du premier ordre est dite une intégrale intermédiaire de cette équation du second ordre.
Réciproquement, étant donnée une équation du second ordre de la forme (i8), on peut se proposer avec Monge de reconnaître si cette équation admet une intégrale intermédiaire et de déterminer celle-ci lorsqu'elle existe.
368 TROISIÈnB PARTIE. — CHAPITRE III.
28 i. Supposons que Téquation (i8) admette une intégrale
intermédiaire (17). Soît V ce que devient le premier membre
de Téquation (17) pour une détermination donnée à volonté
de la fonction $. En changeant $ en $ — c^ c désignant une
. constante arbitraire, on obtiendra l'équation
comme cas particulier de (17).
Toute solution de cette équation satisfera donc à l'équation (18). Mais elle satisfait en outre aux deux équations
ây oz dp âf/
obtenues en prenant les dérivées partielles de (19).
Tirons de ces équations les valeurs de r, s pour les substituer dans (18); il viendra
(ai) P^-Q^ = o,
en posant, pour abréger,
,,/dy dv\()\ .,/o\Y ^,fô\ d\v
d\ d\ dV d\' or az dp di
^ ' d\ d\ dV ()\
dp
L'équation (21) doit être une conséquence de l'équation (19). Mais les seules relations indépendantes de la constante c que celle-ci établisse entre :r, j>% 5, /?, q, r, s, t sont évidemment les relations (20). Or, si nous supposons que V
contienne p, le déterminant (-y-) des relations (20), par
rapport à r et 5, étant ^ o, on ne pourra en déduire aucune relation nouvelle, indépendante de r et de 5; donc l'équation (21) ne pourra subsister que si l'on a identiquement
Ce sont deux équations simultanées du premier ordre, auxquelles la fonction V doit satisfaire. En général, elles sont incompatibles; mais, si elles ont des solutions communes, chacune d'elles donnera une fonction V, telle que Téquation V= c entraîne comme conséquence l'équation (18).
285. Ces équations P = o, Q = o sont du second degré par rapport aux dérivées de V; mais elles peuvent être notablement simplifiées.
En effet, éliminons entre ces deux équations la quantité
-r r P ^r-y nous obiendrons cette nouvelle équation
ôx ' dz ^ ^
r^/dv d\i\ ^d\ y.dVY
(HL-MN-K«)^0y=o;
d'où l'on déduit, en posant, pour abréger,
G = K= -(- MN — IIL,
Substituons dans Q = o la valeur de -. h <7 -r- tirée de
^ oy ^ ôz
cette équation, et supprimons le facteur commun -r-; il viendra
(^^) ^[ô^-^^'-dzJ-^^ôi^-^^^'^'^'^-à^^'''
Les deux équations (28) et (24) sont linéaires. Si G n'est pas nul, on pourra prendre successivement pour y'^les deux
J. — Cours, III. a4
valeurs dont cette quantité est susceptible ; on obtiendra ainsi deux systèmes d'équations linéaires
et
et V devra nécessairement satisfaire à l'un des deux. Si G est nul, ces deux systèmes se réduiront à un seul.
