Nous avons toutefois supposé dans la démonstration

que -p n était pas nul. ^i 1 on avait — = o, mais -^ > o, on

n'aurait qu'à permuter dans le raisonnement ^j p, r, H avec y, q^ t^ L, et l'on arriverait au même résultat, car ce changement transforme simplement P|, Qi, Po, Q2 en Q,,

Notre conclusion ne serait donc en défaut que si V ne contenait ni p ni q. Mais, par définition, s'il existe une intégrale intermédiaire 4>(a, ^)= o, l'une au moins des fonctions Uy if contiendra p ou q. Donc, parmi les fonctions de la forme ^(w, i^), on pourra trouver deux fonctions distinctes U et V contenant chacune p ou q et satisfaisant, par suite, à l'un des deux systèmes d'équations (25)ou(26). Toute fonction ^(U, V) de U et de V qui contient/? ou q y satisfera de même.

On déduit de là que U et V doivent satisfaire toutes deux au système (aS) ou toutes deux au système (26). Supposons en effet que U satisfît au système (26) et V au système (26); ^(U, V) ne satisferait, en général, à aucun des deux. En effet, l'équation P«, par exemple, étant linéaire, le résultat de la substitution de W(U, V) dans cette équation sera

S ot T étant les résultats de la substitution de U et de V.

ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. Sjl

Mais U satisfaisant à P| = o et V à

P, = P,-2S/G^=0, on aura

S=o, T-as/G^=ro,

De même, le résultat de la substitution de V(U, V) dans Qi sera — 2 y/G 3~ ^yî ^^ V^ n'est pas nul, les deux systèmes (aS) et (26) étant supposés distincts; d'autre part, -r- et -7- ne sont pas nuls à la fois ; enfin, si W contient V,

-ry n'est pas nul; donc W ne pourra satisfaire à la fois aux

deux équations P| = 0, Q4 = o. On voit de même que, si W contient U^ il ne peut satisfaire à la fois aux équations P2= o, Q2= o.

Si donc il existe une intégrale intermédiaire, Tun au moins des deux systèmes (25) ou (26) admettra deux intégrales distinctes U et V.

Réciproquement, si le système (25), par exemple, admet deux intégrales distinctes, U et V, il admettra comme intégrale ^'(U, V), quelle que soit la fonction W, et l'on aura l'intégrale intermédiaire

La recherche des intégrales intermédiaires se réduit, comme on le voit, à celle des solutions communes à deux équations linéaires du premier ordre.

287. Lorsqu'on a réussi à trouver une intégrale intermédiaire

il ne reste plus, pour obtenir z, qu'à intégrer cette équa-

37a TROISIÈMR PARTIR. — CnAPITRB III.

tion, qui est équivalente à la proposée, mais du premier ordre seulement. Toutefois , la présence dans TéquatioD d'une fonction arbitraire rendra en général rinlégration plus diflicile.

On peut d'ailleurs obtenir plusieurs intégrales intermédiaires, soit que chacun des deux systèmes (sS), (26) en donne une, soit que Tun d'entre eux en fournisse plusieurs. En effet, ce système étant formé de deux équations entre cinq variables pourra admettre dans certains cas jusqu'à trois intégrales distinctes U, V, W. Il fournira alors deux intégrales intermédiaires

Supposons qu'on ait obtenu deux intégrales intermédiaires, on pourra les mettre sous la forme

Joignons à ces équations la suivante :

dz =z p dx H- // dy.

On pourra tirer /> et q des équations (27) pour les substituer dans cette dernière; on obtiendra ainsi une équation aux différentielles totales entre les seules variables x, v, z. Cette équation satisfait évidemment à la condition d'intégrabilité, et son intégration donnera z,

11 y aura, en général, avantage à faire un changement de variables en prenant V et V| pour variables indépendantes à la place de j? et de ^.