IV. — Équations linéaires à coefficients constants

289. Les problèmes de la Physique mathématique conduisent en général à intégrer des équations (ou des systèmes d'équations) aux dérivées partielles, linéaires par rapport aux fonctions inconnues et à leurs dérivées partielles.

S'agit-il, par exemple, de la propagation de la chaleur, on aura entre le temps t^ les coordonnées x^ y^ z d'un point

quelconque du corps étudié, et sa température U, l'équation

dli ./d^V â*V dn]\

a désignant une constante.

Il faudra joindre à cette équation, pour préciser la question, certaines conditions accessoires qui varieront dans chaque cas.

Si Ton considère un espace illimité, on rendra le problème déterminé en joignant à l'équation (i) une équation

de la forme

V=/{x,y,z) pour / = o,

laquelle donne en chaque point la température initiale.

S'il s'agit d'un corps K de dimensions finies, on pourra se donner la température initiale de chacun de ses points, ce qui donnera la condition

(2) U=y(a7,/,5) pour ^ = 0.

Mais cette condition n'ayant plus lieu pour un point quelconque X, y, z de Tespace, mais seulement pour Içs points intérieurs à K, ne suffira plus pour rendre la question déterminée. Il faudra y joindre de nouvelles conditions relatives aux points de la surface S qui limite K. On pourra, par exemple, se donner la température à chaque instant en chacun de ces points, ce qui donnera une équation de condition de la forme

valable pour tous les points de S.

La connaissance de la température à la surface du corps peut d'ailleurs être remplacée par une autre donnée équivalente.

Si, par exemple, on sait que le corps rayonne librement dans un espace à une température constante, l'équation à la

surface (3) sera remplacée par la suivante

(4) -r-COSa-H -V- COSB H- ^— COSY = AtU,

^ OJc ay oz ^

a, ^, Y étant les cosinus directeurs de la normale à la surface au pointa:,^, >3 et A une constante.

Nous avons ainsi, en général, deux sortes de conditions accessoires : i° conditions initiales qui auront lieu pour ^ = o dans tout l'intérieur du corps considéré; 2** conditions relatives aux limites, qui seront vérifiées à la limite du corps. Les unes et les autres peuvent être variées d'une infinité de manières, ce qui donnera lieu à autant de problèmes essentiellement distincts.

290. En général, les conditions accessoires, de même que les équations aux dérivées partielles, seront linéaires par rapport aux fonctions inconnues et à leurs dérivées partielles. Il en résulte d'importantes conséquences.

Soient, en effet, U|, Us, .;. les fonctions inconnues, /, X, ... les variables indépendantes. Les équations aux dérivées partielles seront de la forme

(5) Fi=/i> Fî^/î» •••> les conditions accessoires de la forme

Ff, Fa, ...,${, $2, . . . étant des fonctions linéaires et homogènes par rapport à U|, Ua, • - - et à leurs dérivées partielles, et /o/a, . . ' , fi, cp2> • • • des fonctions des variables indépendantes.

Supposons que nous soyons parvenus à déterminer : 1** une solution particulière U'j, U',, ... du système d'équations aux dérivées partielles

(7) Fi=/i' Ft = o, ...;

^^ une solution particulière U' , U*, ... du système

etc.

Posons

Les nouvelles variables Vo V^, ••• devront évidemment satisfaire aux équations

Fi n^ o, Fj:=0, ...

et aux conditions accessoires

^1, tl/o) . . • désignant les fonctions des variables indépendantes que l'on obtient en substituant dans $1, ^29 • • • à la place de U|, Uj, ... les expressions

Soient, d'autre part : 1° V',, V',, ... le système des fonctions qui satisfont aux relations

(9) Fi = o> Fj=o, •••; *i = ?i — 4^1, *î=o, ...; 2** V'j, Vj, . . . celui des fonctions qui satisfont aux relations

(10) Fi = o, F,= o, ...; *i=o, *,= ©, — 4/,,

Si nous posons

les nouvelles variables 0|, O2, ... satisferont aux relations

Fi = o, F, = o, ...; *i = o, *î=o,

Ces équations, étant linéaires et homogènes par rapport

aux fondions inconnues et à leurs dérivées, admettront la solution 0, = o, 02=0» ••• et n'en admettront pas d'autre, puisque le problème est entièrement déterminé. On aura donc finalement

u,=u;-f-u;-h...-hv;4-Y'+..., u,=u;4-u;-4....-+.v;-+-v;-4-...,

et l'on voit que la résolution du problème primitif s'obtiendra en déterminant : i^ une solution particulière de chacun des systèmes (7), (8), ...; a** la solution de chacun des systèmes (9), (10),

La question se trouve ainsi ramenée à d'autres problèmes plus simples où tous les seconds membres sont nuls, à l'exception d'un seul.

Dans la plupart des applications, les équations aux dérivées partielles (5) n'ont pas de seconds membres^ on pourra donc poser plus simplement

Vj, V',, ...; V', Vj, ...; ... étant les solutions des systèmes suivants :

291. La décomposition précédente du problème proposé en problèmes plus simples est souvent utile ;' mais il n'est pas toujours nécessaire d'y avoir recours. Nous admettrons donc, pour plus de généralité dans les explications qui vont suivre, qu'elle n'ait pas été faite complètement, de telle sorte que l'on ait à intégrer un système formé d'un certain nombre d'équations aux dérivées partielles linéaires et sans seconds membres

(îi) F, = o, F, = o, ...,

jointes â des conditions accessoires dont les unes

n'auront pas de seconds membres, tandis que les autres

en auront.

La marche généralement suivie pour résoudre les questions de cette nature est la suivante :

On néglige provisoirement les conditions (i3); les équations conservées (i i), (12) ne suffisant plus pour la détermination complète des fonctions inconnues admettront une infinité de solutions.

On tâchera d'en déterminer des solutions particulières. Dans tous les problèmes que Ton sait résoudre, on obtiendra sans trop de peine une infinité de solutions simples de la forme

[ ^l^^J\(ty ^f ...,a, (J, ...),

(l4) \ y^-^Mt,JC, ...,a, p, ...),

œ, ^, ... étant des paramètres variables d'une solution à l'an Ire.

Deux cas seront ici à distinguer, suivant que les valeurs précédentes constituent une solution, quelles que soient les constantes a, |3, . . . , ou seulement pour celles de ces valeurs qui satisfont à certaines relations (par exemple, pour les valeurs entières de ces constantes, ou pour celles qui sont les racines en nombre infini de certaines équations transcendantes que l'on formera dans chaque cas).