Dans le premier cas, les intégrales définies

(i5) |^<p(a,p, ...)/,^xr/3..., |§ç(a,p, ...)/,^ac^?..., ...

donneront une nouvelle solution, quels que soient le champ de l'intégration et la fonction (p(a, p, . . .). En efTet, il est

clair que le résultat de la substitution de ces intégrales, dans l'une quelconque des équations (i i) ou (12), sera

(16) |§^(a,3, ..OMûTa^?...,

M désignant le résultat de la substitution de/i , /s, .... Mais Al est nul, par hypothèse : donc l'intégrale (16), ayant tous ses éléments nuls, sera nulle elle-même.

Cela posé, nous tâcherons de déterminer le champ de Tintégralion et la fonction arbitraire <p, de telle sorte que la solution (i5) satisfasse aux conditions (i3). Si nous y parvenons, nous aurons satisfait à toutes les exigences du problème.

293. Dans le deuxième cas, on substituera successivement dans la formule (i4)» pour les paramètres a, P,..., les divers systèmes de valeurs dont ils sont susceptibles; on obtiendra ainsi une suite illimitée de solutions

Nous obtiendrons une nouvelle solution plus générale en posant

c', d\ . . . désignant des constantes arbitraires.

Il est clair, en eifet, que le résultat de la substitution de ces valeurs dans Tune quelconque des équations (1 1) et (12) sera de la forme c'M'h- c^M'' + . . . , M', M", ... désignant les résultats respectivement obtenus par la substitution des diverses solutions simples. Or M', M", ... sont nuls, par hypothèse; donc c'M'-f- c"ftr-|-. . . le sera, et les séries (17) donneront une solution.

Il restera à déterminer les coefficients arbitraires d ^(f ^ ..., de telle sorte que ces séries soient convergentes et satisfassent aux conditions (i3). Le problème sera dès lors résolu.

Nous allons éclaircir cette méthode par quelques exemples.

38o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.

29t. Propagation de la chaleur dans un milieu indé^ fini. — On a à intégrer Téquation

jointe à la condition initiale

U=/(j;,j, s) pour f = o.

L'équation (18) admet évidemment comme intégrale particulière l'expression

U' = cos 1/(0: — X) cos('(7 — fji) ces w(2 — • v) e-<"'-^*''-^«*'*'«*',

£/, v^ w, \ [A, V étant des constantes arbitraires. Elle admettra donc comme solution l'intégrale

/%» /•• /** U'— / / / \}'dudvdiv,

laquelle est le produit des trois intégrales simples

Jf e-"'"'' CCS w (j: — X )^w,

des intégrales sont aisées à calculer. Nous avons trouvé, en effet (t. II, n« 165), la formule

e"^-»"' ces 2 hydy = ^ y/ira ' c ** .

Changeant dans cette formule^ en m, a en a^/, h en ^ , il viendra

Calculant de même les deux autres intégrales, il viendra

ia\Ji lasft 'xas/t L'intégrale

sera encore une solution.

Cette expression peut se transformer en posant

^^::^-a li:^-3 '-^i-v

Il viendra

Cette valeur de Use réduit pour ^ = oau produit àef{^jyyZ) par les trois intégrales simples

Mais on a

4= re-'^'ch—X r e-^'d% =

(t. II, n** 163); et de même pour les deux autres intégrales. L'expression U satisfera donc à la condition initiale

U=/(x,j, c) pour ^ = o

et sera la solution du problème.

295. Propagation du son dans un espace indéfini. — On a Téquation aux dérivées partielles

38a TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.

avec les conditions initiales

dV ^ . \ pour^=o,

On peut poser U = U'4- U", U' et U*' étant les solutions obtenues en combinant à Téquation difTérentielle les conditions initiales

U'=0, — rr:/i(j?,J,5)

et

Calculons d'abord U'.

On voit immédiatement qu'on satisfait à l'équalion aui dérivées partielles et à la condition initiale U'= o par la solution simple

U' = ces M sin art f

où nous posons, pour abréger,

M = u{a: — X) H- v(y — jji)h- i%'{z — v),

On y satisfera plus généralement par l'intégrale (ïq) V -^—^ — cosM smartdXd^chdudvdWy

F désignant une fonction de X, ui, v, qu'on peut choisir arbitrairement, ainsi que le champ d'intégration.

Les variables w, r, w d'une part, X, (Ji,v d'autre part, peuvent être considérées comme dès coordonnées rectangulaires. Remplaçons u^v^w par des coordonnées polaires r, 0, y, ajani pour centre l'origine et pour' axe polaire la droite qui joint l'origine au point x — \ y — ^i ^ — v. Remplaçons, d'autre part, \. u, V par des coordonnées polaires ;*', 0', çp', ayant pour centre le point x^y^ z et pour axe polaire une parallèle aux z.

On aura

X=:x -h r' sin6' cosçp',

jjL=: y 4- r' sinO' sino',

y z=: z -\- r'cos6';

M = u{x — ).)■+- ^(/ — H^)H- ^{^ — v)=irr' cosÔ, du dv dw = r* sin 6 dr t/ô r/.p, dkd^d* =z r'^ sine' dr' d^' d^'.

L'intégrale deviendra donc

C F cos(rr' cos6) sinar^ r sinO <ir d^ do r'* sine' dr' d^' do'.

Supposons que le champ de Tin tégra lion soit pour 6 et 6' de o à TT, pour ç et cp' de o à 27î, pour r et r' de o à oo.

Les intégrations par rapport à (p et 6 pourront s'effectuer en remarquant que sin6rfO = — dcosH. L'intégrale deviendra

^Tt ^ F / sin rr' sin art sîn e' dr' d^' do' dr

= 2 71 Vf r' [cGsr^/'— ai) — cosr(r'-+-a/)] sin^' dW d^' drdr'.

On pourra encore effectuer les intégrations par rapport à /• et r' en appliquant la formule de Fourier

f du.f /(P)cos|x(?-^)./?=^[/(a: 4-0)4-/(^-0)]

démontrée au t. II, n*»226.

Soit, en effet, '}(r') une fonction égale à Fr' quand /•'^o et nulle quand /-'< o. On aura

/ dr I Fr' [cos r{r' — at) — cosr {r' -^ at)]dr' — I dr I à (r')[co3r(r' — at) — cosr(r'-+- at)]dr' = - [^(at-ho) -\-^(at — o)] — - [,];(— a^ H- o) -t-^(—a^ — o)].

Cette formule suppose seulement : i° que la fonction ^ a une variation limitée entre — oo et 4- oo ou, ce qui revient au même, que Fr' a une variation limitée de o à oo; 2** que l'intégrale

rmdr'= r\Fr'\dr'

est finie. Si nous admettons en outre que la fonction F est continue, le second membre de l'expression précédente se réduira, si ^ > o, à TZ'!^{at), car ^( — at) sera nul; si t <o, il se réduira à — 'irt}/( — at). Enfin, si ^ = 0, il se réduira à zéro.

On aura donc, pour toute valeur de ij

/clr I F r' [ ces r(r'— at) — co^r{r' -^ at)]dr*

z=i r. at F (x -h at' sin 6'cos<p',j' -h at' sind' sin 9' y z-^-at' cos fi') ^

i' désignant le module de t.

Nous obtenons ainsi, en supprimant les facteurs constants, comme solution de l'équation aux dérivées partielles, l'expression

,iTZ ^1t

Jf / ^ F (j; H- a^' sin 6' ces <p', J H- at' sin 0' sin ^', z -+- at' cosô' ) 6 «^0

Xsinô'^'t/5'.

Pour / = o, cette intégrale s^annule, et sa dérivée se réduit évidemment à

f Ç F(a-, V, c)sinO'^'e/cp'=47:F(j7,/, c).

Nous satisferons donc à toutes les conditions du problème si nous posons

Nous obtiendrons ainsi, comme solution, l'intégrale dé-

finie double

=z -^ I j f/i(j?-+-a^'sin6'cos<p', 7-+-a/'sin6'8ia<;p', 5-+-a/'cosO')