Calculons maintenant U
On satisfait évidemment à l'équation difierentielle et à la condition initiale
-3— = o pour ^ = G at
par la solution simple
cosM cosar^,
et plus généralement par Tinlégrale définie j V F (X, fji, V ) cos M cos art cTk d\L e/v du dv dw
= -r— V —-— COS M sinartdkduid'^ du dvdw
= -TT / / ^F(ic -ha^'sin6'cosip',/4-ai'sinô'8in<p', 5 4-.a/'cosO') .
XsînO'dÔ'rfip'.
D^ailleurs, pour / = o, cette expression se réduit à
On satisfera donc à toutes les conditions du problème en posant
ce qui donnera
z^j-—- f f V(^ -f-a^'sin6'cos'f',/-hai'sinO'sinîp',5-Ha/'cosO')
X sinô'ûTO'é/'/.
On aura enfin
Cette solution suppose toutefois, comme on Ta vu d'après
J. — Cours, III. a5
38G TROISIÈMB PARTIR. — CHAPITBB UI.
la démonslration : i ° que les fonctions
ont une variation limitée lorsque le point X, {ji, v décrit une dtohe partant d'un point quelconque Xj yy z de Fespace, et allant jusqu'à Tinfini dans une direction quelconque; o? que les intégrales
f\/r'\dr', f\Ar'\dr' prises le long de cette droite sont finies.
297. Supposons qu'à l'instant initial il n'existe de mouvement qu'aux environs de l'origine des coordonnées, de telle sorte que les fonctions
soient nulles pour toutes les valeurs de Xj y y z extérieures à une sphère de rayon e décrite autour de l'origine. Décrivons une sphère de rayon at! ayant pour centre l'origine; on pourra la représenter par les trois équations
Ç H- at' sin 6' cos tp' = o, T, -+- at' sin 6' sin <p' z=z o, Î4-af'cos6' ==0.
Pour tout point x, y^ z dont la distance à cette sphère est >► s on aura, pour toutes les valeurs de 6' et y',
z=l{x -\- at^ sin 0' cos ç' )'
-h (/ -h aV sin6' sin<p')*-|- (^H- af'cosô')*> ».
Les fonctions
/(j? -f- ai'sinô'cosç', j^H- a/' sinô'sintp', 5-ha^cos6') et
/, (^ 4-a^'sinô'cosç', / -h a^' sinO' sin<p', z -f- ar'cosO')
seront donc nulles dans tout le champ d'intégration, et Ton aura par suite U = o.
La fonction U sera donc nulle à chaque instant dans tout l'espace, sauf dans Tintérieur de Y onde sphérique comprise entre les deux sphères de rayon at' -{-t el at! — e.
298. Problème de Cauchy. — Considérons plus généralement un système de fonctions inconnues 'U, V, . . . des variables f, x, y^ Zy déterminées par un système d'équations
<2o) R = m{t,x,y,z)y Ri=:tït,(^, ^,7, s),
ayant pour premiers membres des fonctions linéaires à coefficients constants de U, V, ... et de leurs dérivées partielles, et par les conditions initiales
Posons, pour abréger,
m(j? — X) 4-^(7— jjl) -+-«'(« — v)=:p,
//, V, Wj \ (X, V étant des constantes, et
du dv dw dkd^d^-=^ d<j.
Nous allons prouver que la solution du problème est -donnée par les formules
où le champ d'intégration par rapport à chacun des couples de variables e/, X; p, ^; (^, v est un rectangle infini ayant pour centre l'origine des coordonnées; T, 6, ... désignant
d'autre part des fonctions de t définies : i^ par les équations difTérentielles
(22) A = Tït(^X, IX,V), Jli = TïT|(^X, tX,v), ...,
OÙ ^, ^1, ... se déduisent de R, R|, . . . en y substituant aux dérivées partielles
dt^ dx^ dy'( dz^ ' dt^ dx^ dy^ dz^ ' les expressions
^" par les conditions initiales
T=/(X,HL,V), -^ =zy,(X, |X,V), ...
(i3) { ^^ } pour« = o.
Substituons en effet, pour U, V, ..., les valeurs (ai) dans Tune des équations (20), la première, par exemple; comme on a évidemment
<Jj7 (271 )»0 (/«P (27r)3k3
le résultat de la substitution dans R sera
OU, en vertu des équations (22),
Or on a
z=. [ces M {x — X) 4- tsinii {x — X)] X [ces V {y — |x) -4- £ sin ç' (y — jx)] X [cosw{z — v) -h is\Tk\v{z — v)].
EfTectuant les produits, on obtiendra huit termes qui tous, à Texccption d'un seul, contiendront un sinus en facteur.
Considérons un de ces termes, contenant par exemple le facteur sin u{x — X). Les éléments qu'il fournit à l'intégrale pour deux valeurs égales et opposées de u se détruiront.
Au contraire, les éléments fournis par le terme
cos;/(a: — X) cos('( v— fx) cos«'(-s — v)
pour des valeurs égales et contraires assignées à l'une des quantités m, p, w seront égaux. L'intégrale ( 24 ) se réduira donc à
-g V cosm(j? — X) cosv{y — jjl) cos«'(s — v)m(^, X, ja, v)rfff,
//, ç^ w ne variant plus que de o à 00.
La double intégration par rapport à a, X donnera comme résultat, d*aprcs le théorème de Fourier,
— V cos(^(j' — |x) cosiv{z — v) nj(^, Xy |x, yt)dv dwdkch.
Intégrant par rapport à i' et [x, on aura de même, comme résultat,
et enfin, en intégrant par rapport à (v et v,
ce qui est précisément le second membre de l'équation aux dérivées partielles.
SgO TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
Les conditions initiales sont également satisfaites, car od a, pour ^ = Oy en vertu des équations (28) ,
et il suffira de changer ny en /, /, , ... dans les raisonnements précédents pour montrer que ces expressions sont respectivement égales à/(a:,^, «),/i (^t J? -5), ....
299. Propagation de la chaleur dans une barre indéfinie dans un sens. — Nous aurons Téquation aux dérivées partielles
dt ~'^ dx^' avec la condition initiale
U=:/(x) pourf = o, j?>o et la condition à la limite
U::^o(0 pOUrj?=i:0,
laquelle donne, en fonction du temps, la température à l'origine de la barre.
On pourra poser
U' devant satisfaire aux conditions
U'=r/(;r) pour ^ r- o, x>o; U' = o pour a: = 0,
et U'^ devant satisfaire aux conditions
tl''i=:o pour/=o, x'>o\
U''::='p(/) pOUrJ?=^0.
ÉQUATIONS AUX DÉRITÉBS PARTIELLES. SqI
Calculons d'abord U'.
On satisfait à la condition U' = o pour x = Oy ainsi qu'à Téquation aux dérivées partielles, par la solution simple
smuxe-*'*"*^
et par la solution plus générale
/ sinwj7e-«'«''F(a)cfM,
laquelle, pour t = Oy se réduit à
/ s\nuxF{u) du.
Il restera donc à déterminer F (a), de telle sorte qu'on ait
' sin u x F (u) du =i/{x) pour j? > o.
On y arrivera en posant
F(m) = - / sinu'kf{X)dX.
On a, en effet,
- 1 / sin{£j?sin{£X/(X)eA
ziz - I I [cosw(a? — X) — cosM(ar -f->)]/(X)c?X,
et, en désignant par ^(X) une fonction égale à /(X) pour X >• o, à zéro pour X <; o, cette intégrale aura pour valeur
\[^{x -ho) -+-<K^ — o) — <j/(— ^-ho) — <K— ^ — o)J,
quantité qui, pour x> o^ se réduira à f{x) [en supposant f{x) continue].
3g2 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
La solution du problème sera donc l'intégrale double - f f e-«'«''[co8a(a? — X) — costt(a?-T-X)]/(X)rf«irfX
OU, en cflectuant l'intégration par rapport à u^ comme au n«29i,
300. Passons au calcul de U". Ce problème se ramène au précédent, comme nous allons le voir.
Nous traiterons d'abord le cas particulier où cp(^) se réduit ù la constante i. On aura, dans ce cas,
W étant une nouvelle solution qui satisfasse aux relations
W — — I pour t T-zo, x^> o; W -— o pour a:^:zo,
(^ctte dernière fonction s'obtiendra en posant y( a) = i
dans la formule (aS). On aura donc
Cette expression peut se simplifier. Changeons, en effet, de variables en posant, dans la première des intégrales cidessus^
et dans la seconde,
Elles deviendront respectivement
fiQUATIONS AUX DÊRIYÊBS PÀRTULLBS. BqS
el auront pour somme
mais on a d'ailleurs
-1 flO
On aura donc finalement
expression que nous désignerons par '/{x^ t).
301 . Passons au cas général où îp(^) ne se réduit pas à une constante. Nous allons démontrer qu'on a
En effet, y (x, t) étant une solution de Téquation aux dérivées partielles et celle-ci ne changeant pas si l'on y change t en / — X, y(»r, t — \) sera encore une solution.
L'intégrale / '/Jx, t — ).) îp'(X) rf)., prise entre des limites
constantes, sera une solution, et il en sera encore de même si la limite supérieure, au lieu d'être constante, est égale à t\ car cette supposition ne fait qu'ajouter à la dérivée partielle de l'intégrale par rapport à ^ le terme y^{x^ o) ç'(^), lequel est nul dans toute Tétcndue de la barre, d'après les conditions qui ont servi à déterminer la solution '/(^, 0-
Donc les deux termes de U" sont des solutions de l'équation aux dérivées partielles. Tous deux s'annulent d'ailleurs pour ^ = o dans toute l'étendue de la barre. On aura donc
U^iizo pour/zno, j;>o.
3^4 TROISIÈHB PARTIE. -- CHAPITRB III.
Enûn, pour x = o, on a
et
Donc U' satisfait bien à toutes les conditioas du problème.
302. L^expresslon (26) peut se transformer au moyen de l'intégration par parties. On a, en effet,
fi ^
D'ailleurs ?(5^)'x(^, t — X) s'annule pour X = ^, et se réduit à ç(o) 'f^{x^ t) pour ). := o. On aura donc simplement
U'r^-jf |-y(x,«-X),p(X)rfX ' d
Remplaçons maintenant ^(^j ^ — ^) P*^' ^^ valeur
/ JfX(^,'-^)?(M^-
tav^z-X
on aura
et enfin
TTi^— "^
La méthode dont nous nous sommes servi pour ramener le calcul de U' à celui de U' est évidemment applicable à tous les problèmes analogues.
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIBLLBS. SqS
303. Cordes vibrantes. — Considérons une corde tendue sur la portion de Taxe des x comprise entre o et /. Désignons par U le déplacement suivant Tun des axes coordonnés du point dont Tabscisse serait x dans Tétat de repos. Nous aurons l'équation aux dérivées partielles
à laquelle il faudra joindre les conditions initiales
d\5 , , . { pour * = o, o<a? </
et les conditions aux limites
U r= o pour a: =r o, U := o pour X =^ l,
lesquelles expriment que les extrémité^ de la corde restent fixes.
Nous avons trouvé (273) que l'intégrale générale de l'équation (27) est
l] i=t^(x -hat) -^<^{x~ al).
Il reste à déterminer les fonctions f et (]^ de manière à satisfaire aux autres conditions du problème.
Les conditions initiales donnent, pour l'intervalle deo à l,
d'où, en intégrant,
a^{x) —a^{x)^=i I /i{x)dx-^c et enfin
?(^) = i/(^)-^— J A{^)dx-\-—y
396 T&OISIÈXIB PARTIB. — CHAPITRE UI.
D*aillears, U ne changeant pas quand on accrott la fonction (f d'une constante quelconque en diminoant d'autre part ]a fonction tj; de ]a même quantité, on pourra, sans nuire à la généralité de la solution, supposer c = o.
Les fonctions <f{x) et ^(x) sont ainsi déterminées dans Pintervalle de o à /. Les conditions aux limites donnent d'ailleurs les identités
rf{at) -^ <K— at) =: o, ff {l -^ at) -\- ^ {l — at) — o ;
d'où, en changeant at en x^
^{ûr)-^.'^{^x) -o,
Cette dernière équation donnera la valeur de cp pour les valeurs de l'argument comprises entre /et 2 /. En j changeant X en — X, elle donnera la valeur de ^ dans le même intervalle.
Enfin, en y changeant /en /-{- :r, il viendra
d'où
«p(2/-h x) r= Cp(^).
La fonction <p admet donc la période 2/. Il en sera de même de la fonction
Les deux fonctions <p et <J/, admettant la période 2 / et étant connues dans l'intervalle de o à 2 /, seront déterminées pour toutes les valeurs de l'argument.
304. La méthode d'intégration précédente, due à Euler, est spéciale au problème des cordes vibrantes. Le procédé de BernouUi, que nous allons exposer, est, au contraire, l'application directe des principes établis au commencement de cette Section.
On satisfait à l'équation aux dérivées partielles et aux
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. Sgj
conditions aux limites par les solutions simples
. rmzx mnat . rmzx . imzat sm — j — CCS — j — ) sin — ^ — sm — j — >
où m désigne un entier quelconque.
On y satisfera plus généralement par la série
U —yjLm sm —y— ces — ^ ^ y *^"» ^*° — 7
sm—j-^y
m prenant toutes les valeurs entières de i à oo.
Reste à déterminer les coefficients Am et B;», de manière à satisfaire aux conditions initiales. En y substituant cette valeur de U, elles deviendront
nir.x
> —j- B;n sin —y— — /^ {x)y et Ton y satisfera (t. II, n** 238) en posant
A„=jI /(a) sin'^^ûfa,
ira ^' r r / \ ' rnr.n
305. Refroidissement d'une barre hétérogène. — Ce problème dépend de l'intégration de Téquation suivante
jointe à la condition initkile
(29) U =:J{x) pour ^ = 0, ir>o < X
et aux conditions aux limites
