TT

(30) X:-T-^--AU = o pour a? = 0,

(3i) k-^ — hHU:=o pour a: rz: X.

398 TROISifeMB PARTIE. — CHAPITRE III.

La barre est supposée s'étendre sur Taxe des â? de o à X; g^ k, l sont des fonctions de x^ positives dans toute retendue de la barre et représentant respectivement la chaleur spécifique, la conductibilité intérieure et le pouvoir émissif sur chacune des sections transversales; A et H sont des constantes positives.

On satisfait à Téquation (28) par la solution simple

r désignant une constante et V une fonction de x qui satisfasse à l'équation linéaire du second ordre

Les équations (3o), (3i) donneront

(33) k-j AV = o pour 07 = 0,

(34) ^^4-HV=o pourarrzzX. •

Soient V, V deux solutions particulières de l'équation (32); rinlégrale générale sera

et cette valeur, substituée dans les équations (33) et (34)> donnera

(4*^:nv.],...[*-.r,v.]^=«.

On pourra satisfaire simultanément à ces deux équations

c" par un choix convenable du rapport -7 si leur déterminant

est nul. Ce déterminant est une fonction de r que nous désignerons par nj(r).

Soient /'i, Ta, ... les racines de Téquation nT(r) = o. A

ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. SqQ

chacune d'elles, telle que r„, correspond une intégrale V,j telle que la solution simple

satisfasse à la fois à Téquation aux dérivées partielles et aux équations aux limites.

On y satisfera plus généralement en posant

et cette nouvelle expression sera la solution du problème, si elle satisfait en outre à la condition initiale.

Il ne restera donc plus qu*à choisir les coefficients A, de telle sorte qu'on ait

2A;nV,„i=/*(a?) de a: = 0 à 07 = X.

306. Ija détermination de ces coefficients repose sur une propriété importante des fonctions V,), que nous allons exposer.

Le paramètre r restant provisoirement arbitraire, désignons par V celle des intégrales de Féquation (32) qui satisfait, pour X = Oj à la condition initiale (33). Ces deux équations pourront s'écrire ainsi

(87) k-z AV=io pour 07 = 0,

en substituant aux différentielles ordinaires des signes d de dérivation partielle, pour mettre en évidence ce fait que V dépend non seulement de Xy mais du paramètre r.

Donnons à ce paramètre une autre valeur r'. Soit V la valeur correspondante de V ; on aura

(89) k-^ hy=zo pouro7z=:o.

4oO TROISifellB PARTIE. — CHAPITRE lU.

Retranchons Tune de Tautre les équations (36) et (38), respectivement multipliées par V et V; il viendra

^ ° dx dx dx ôjs

et, en intégrant de o à X,

,.-.pvv..=[*(v.g v-)];

car, pour x=:Oy\ expression ^ ( V ^ V -j— j s annule

vertu des équations (37) et (Sp).

Posons maintenant r = rm, ^^ = rn^ rm et r„ étant deux racines distinctes de Inéquation nj(r) = o; V et V se réduiront à \m et Vfl, et l'on aura, pour a: = X,

ax dx

ax ax

L'cqiiation (4o) se réduira donc, en supprimant le facteur

(40 / g\„,\ndx-0.

Soit, en second lieu, r

/•«, /■'— /«-he, e étant un infi-

niment petit. On aura

dx dx

dx ~' Ox ' àj:dr~~^""

ÉQUATIONS ACX DÉRIVÉES PARTIBLLBS. 4oi

Subsii tuant dans l'équation {^o), divisant par e et passant à la limite, il viendra

307. Nous allons maintenant établir que, si Ton débarrasse l'équation T3(r) = o des racines parasites pour lesquelles la solution V correspondante serait identiquement nulle, les racines restantes seront toutes réelles, inégales, positives et en nombre infini.

1® Si T!y(r) = o admettait une racine imaginaire rm== a + ^ly elle admettrait sa conjuguée r„ = a — p/. A ces deux racines correspondraient deux intégrales conjuguées Vm = /> + 5'*> V/,=/> — (ji\ et rintégrale

aurait tous ses éléments positifs, ce qui est absurde, puisqu'elle doit être nulle.

2" Si w(r) = o admettait une racine double r, l'intégrale correspondante V,i satisferait, pour a; = X, non seulement à l'équation

mais à sa dérivée

ox or or

On aurait donc, pour x =- X,

dr ()x dx ()r '

d'où

J gy\dx — o,

résultat absurde, tous les éléments de l'intégrale étant positifs.

J. — Cours, III. 26

402 TROISIÈME PÂRTIB. - CHAPITRB HI.

3^ L'équalion w(r) = o ne peut avoir de racine négaÛTe ou nulle.

En effet, si r^o, / — rg sera positif dans toute retendue de lu barre, et les équations

{l\[\) k- /jVr=o pourjj-io,

(45) A:^-hHV — o pour a? — X

seront contradictoires.

En effet, Téqnalion (43), intégrée de o à a:, donne

= [AV]o +/ (l-gr)\da:.

La fonction V varie avec a^ en partant de la valeur initiale Voi tant qu'elle ne changera pas de signe, tous les éléraenb

de rintégralc / (/ — gr)V dx auront également le signe

de Vo; donc -j- aura ce même signe, et, par suite, V s'éloignera de zéro.

11 résulte de là que, dans tout l'intervalle de o à X, V s'é-

loigne de zéro et conserve le même signe que -^ — Donc Té-

quation

A-, i-HV = o pour;r = X

ne pourra avoir lieu, ses deux termes ayant le même signe.

308. Les racines de rij(r) = o sont donc toutes réelles, inégales et positives. Il reste à prouver qu'elles sont en nombre inflni. Nous y arriverons en étudiant l'allure des io-

ÉQUATIONS AUX DÉRIYÉES PARTIELLES. ^oZ

tégralcs de Téqualion (32) ou, plus généralement, d'une équation de la forme

où K cl G sont des fonctions de œ.

On peut remarquer incidemment que toute équation linéaire du second ordre

peut être mise sous cette forme. En effet, multiplions cette équation par un facteur indéterminé M. Elle deviendra

MP j^^ -h MQ ^^ 4- MRV zrz o

d ^,T^d\ /. dMP\dV

-j- MP

CIJC

d\ Le terme en -7 - disparaîtra si Ton pose

d'où

ot enfin

Ain ^ MF

MP ~ P ' logMP=nJ§./x,

M étant ainsi déterminé, on n'aura plus qu'à poser MP =^ K, MR = G pour avoir la forme d'équation voulue.

On peut simplifier encore la forme de l'équation (47) par un changement de variable. Posons, en effet,

V=iK *W;

4o4 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE m.

il viendra

dx dx 2 dx

dx dx 1 dx

dx dx dx^ 1 dx \ dx J

Le terme en --z— disparaîtra donc de Féquation transformée^ laquelle, divisée par K^, sera de la forme

dx-

309. Soit V| une solution particulière de réquation (47) r on aura

-r K -7- -h GV, — o.

dx dx

De cette équation combinée avec (47) on déduit

dx dx dx dx dx ( \ dx dx J \

et, en intégrant,

dN ^dV,\

(48) ï^(>^'ii:-V^>-'^

dx KVî

et enfin

(49) v = cV.r^^J^-rc'V,

Supposons que R reste constamment fini et positîf entre o et X. On déduira de la relation (48) que V| et -^ ne peuvent s'annuler à la fois en aucun point de cet inter-

ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 4o5

valle; car on aurait c = o, et Tintégrale générale ne contiendrait qu'une constante d ^ ce qui est impossible.

L'équation V| = o n'admet donc que des racines simples^ et la courbe j^ = V| coupera l'axe des x en tous les points où elle le rencontre. Soient a et ^ deux racines consécutives;

les valeurs correspondantes ( --r-^ ) ^M "T~^ ) ^^ '^ dérivée

-^seront évidemment de signe contraire.

Cela posé, V désignant une autre intégrale quelconque, on aura l'équation (48) qui, pour a; = a et ^ = P, se réduira à

Donc [K.V]a et [K-V]^ seront de signe contraire, et, ^omme K est toujours positif, [V]a et [V]p seront de signe contraire.

Donc, entre deux racines consécutives de l'équation V| zz^ o, comprises entre o et X, il y aura au moins une racine de \ -—• o. Il n'y en aura d'ailleurs qu'une seule, car ce théorème est évidemment réciproque.

310. Nous allons étendre cette comparaison aux intégrales V, V qui satisfont respectivement à deux équations différentielles distinctes

ax ax

^K'fLL^-G'V'^o.

dx dx

Supposons d'abord que R' et G' soient infiniment peu différents de R et de G et que les différences R — R' et G' — G soient constamment positives entre o et X.

Admettons enfin que les intégrales V et V qu'il s'agit de comparer soient des solutions correspondantes, c'est-à-dire

telles qu'on ait

dW' d\

V' = V, K'~^K^ poura; = o.

4o6 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE UI.

On déduit des équations (5o)

d dV d dW

ce qui peut s'écrire

d du

(rvK^--VK'^-1=r^(G'-G)VV'-+.(K — K')^- — r L du; dx j ^ ' djc dx

dS' . rfV

Or V et —j- y diOerant infiniment peu de V et de — > au-

ront le même signe que ces dernières quantités; d'ailleurs, G' — G et K — K' sont positifs. Donc le second membre de cette équation sera positif de o à X, et la fonction

dx dx

sera croissante dans cet intervalle. D'ailleurs elle s'annule pour ^ = o ; elle sera donc positive de o à X.

Soit, maintenant, a une racine de l'équation V= o comprise dans cet intervalle; on aura, pour a: = a,

donc [V']oi et -^- seront de même signe.

Si -^ >• o, la courbe j^ =: V traversera l'axe des x de

Fig. 7.

bas en haut au point x =: a (/Zi?^. 7); [V']a étant positif, la courbe ^=V', infiniment voisine de la précédente, sera

située au-dessus d'elle et coupera Taxe des x en arrière du point a.

Si -r- '< o, la courbe jk = V traversera l'axe des x en

descendant; [V]» étant négatif, la courbe ^ = V' sera audessous de la courbe jK -~ V et coupera encore l'axe des x en arrière du point a {Jig* 8).

D'ailleurs, si l'une des fonctions V, V s'annule pour a: = o, il en sera de même de l'autre, par hypothèse.

Donc, à chaque racine a de l'équation V= o correspond une racine infiniment voisine a' de l'écjuation V'=: o, laquelle sera un peu moindre que a; et l'équation V'-^ o aura en général autant de racines entre o et X que Téquation V= o.

Toutefois elle en aura une de plus si V s'annule pour X, car la racine correspondante de V tombe en dehors de l'intervalle considéré.