Soient plus généralement deux équations
où les quantités K| et K, G| et G diffèrent de quantités finies, mais satisfassent toujours aux relations
(54) G, — G;:o, K — K,=o deoàX.
On pourra former d'une infinité de manières deux fonc-
4o8 TROISifellB PARTIE. — CHAPITRE III.
tîons Ç(^, r), DC(a:, r) de x et d'un paramètre variable r, qui soient, la première croissante et la seconde décroissante lorsque r croît de r© à r^ (et cela pour toute valeur de x comprise entre o et X) et qui de plus se réduisent respectivement à G, K pour r= r© et à G|, K| pour r = r|. Od pourra prendre, par exemple, ro= o, Ti = i ,
g(^,/-)^G-+-r(G,-G), DC(^,r)=K-i-r(K,— K).
Cela posé, considérons l'équation
^X(.,r)^-Hg(x.r)W=o,
et désignons par y(x, r) une solution de cette équation, déterminée par les conditions initiales
a et b étant des constantes déterminées choisies à volonté. Donnons successivement à r une infînité de valeurs r^, r', . . . , r^ variant progressivement de r© à Pt .
Soient G, G', ..., Gr, K, K', ..., KV; V, \\ ..., V,
les valeurs correspondantes de (J(jr,r), DC(j:, r), V(a:, r);
nous aurons
,, J de o a X,
deux fonctions consécutives étant d'ailleurs inGnimcnt peu différentes
Nous aurons, d'autre pan,
-—\\- hGV — o,
dx dx
d d\' dx dx
ÉQUATIONS AUX DÉRIYÉES PARTIELLES. 4o9
et
Ux dx iLvi ]
Si V=o admel une racine a dans rintcrvalle de o à X, les équations successives V - o, V'r= o, . . ., V| = o admettront respectivement, pour racines correspondantes, d'après ce qui a été démontré, des quantités a, a', . . ., ai, telles que l'on ait
Donc, à chaque racine a de V = o comprise entre o et X correspond une racine moindre ai de l'équation V| = o. Celle-ci aura donc dans cet intervalle au moins autant de racines que V= o. Elle peut en avoir davantage; car, si l'une des équations successives
V'--i=V(:r,r') -TO, V'^:--V(^,r')-:=o, ..., V,.~tV(^, r,) rro
est satisfaite pour .r ^^ X, il s'introduira par là dans les équations suivantes une nouvelle racine que n'avaient pas les précédenles.
L'excès A du nombre des racines de l'équation Vj = o sur le nombre des racines de V=o sera donc égal au nombre des valeurs de r comprises entre r© et Ti qui satisfont à
Téquation
312. Soient r' , r*"*"* deux valeurs consécutives quelconques de r; on aura (310), dans l'intervalle de o à X,
cLv cix
Lorsque V' n'est pas nul, V'"***, qui en diffère infiniment peu, sera de même signe, et, en divisant la relation précédente par la quantité positive V^V'"*"*, il viendra
dœ dx
yi-+-i
4lO TROISlfeMB PARTIE. — CHAPITRE III.
et, plus généralement, en désignant par H une coDstante quelconque,
Celte inégalité a lieu pour toute valeur de x comprise de G à X et, en particulier, pour a; = X; elle montre que l'expression
^(X, r)"^^^^^^ -+- IIV(X, r)
considérée comme fonction de r, est constamment décroissante de To à Ti , sauf pour les valeurs de r qui annulent son dénominateur.
Elle ne pourra donc changer de signe qu'en passant par zéro ou par Tiniini négatif, et ces zéros et ces infinis se succéderont alternativement.
Si 'f (^o) et ç(ri) sont de même signe, le nombre A' des zéros sera évidemment égal au nombre des infinis ; si
?(^o)>0) ?(''i)<Oî il sera égal à A -M ; si <p(ro) ^:; o^ Q(ri ) > o, il sera égal à A — ^ i .
Le nombre des racines de Téquation
DC(X, /•) — J^^^ + HV(x, r) = o,
comprises entre r© et Ti, sera donc égal à A, A -f- i ou A — i suivant celle des trois hypothèses précédentes qui aura lieu.
313. Jusqu'à présent nous nous sommes borne à comparer des solutions correspondantes des deux équations différentielles
dx dx
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIBLLKS. 4ll
Soient maintenant V et V| deux: solutions quelconques de ces mêmes équations.
Nous allons établir que deux racines consécutives a, ^ de Téquation V=o comprennent au moins une racine de l'équation V| =: o,
En effet, soit V'j une solution de la seconde équation, telle que Ton ait, pour j; = a,
dW' dW
* ajc ax
A la racine P de V= o comprise dans Tintervalle de a à X correspond, d'après les raisonnements précédents, une racine ^\ de V, ^= o comprise dans le même intervalle et moindre que ^. Mais V| satisfaisant à la même équation différentielle que V'^, entre les deux racines a et P', de V'^ -- o, il devra se trouver une racine ^i de V| = o, ce qui démontre notre proposition.
314. Les considérations précédentes permettent de fixer dans une certaine mesure le nombre et la position des racines de l'équation V^-^ o comprises entre o et X, V désignant une solution de l'équation différentielle
-;- K -7- ~\- GV --- o.
ax ax
Soient, en effet, A"2, g% et A^i , g^ les plus grandes et les plus petites valeurs de K et de G dans cet intervalle. Considérons les équations auxiliaires
(55) « = -ji ^■' S -^ »-■ v« - ^■' S -^ *'■ ^' - °'
(56) o r= — A-, -J-? -H 5-, V.rr. A", -j— ' H" gt^ 1= O.
V| et Vj étant des intégrales quelconques de ces deux équations, deux racines de V=o comprendront entre elles au moins une racine de V| = o, et deux racines de Vj := o comprendront entre elles au moins une racine de V=: o.
4ia TROISIEME PARTIE. - GUAPITRB lU.
Or, si g^ est positif, les intégrales de (55) seront de la forme
V, = csin 1/ 77 ^ "+" ^^^s
L^équation V{ - - o a ime infinilé de racines équidistanteset
dont la diflerence est iri -^- On peut d^ailleurs déterminer
le rapport des constantes c, c' de telle sorte que Vi s'annule pour une valeur a arbitrairement choisie. Si donc on prends
entre o et X, un intervalle quelconque d'amplitude < ^\/ — *
on pourra, déterminer V| de telle sorte qu'elle n'ait aucune
racine dans cet intervalle; donc V ne saurait en avoir plus d'une. Donc la dislance de deux racines consécutives de
Vr-o sera au moins é^rale à lîi/ — • Le nombre total de
ces racines entre o et X aura donc pour limite supérieure rentier immédiatement supérieur au quotient de X par
Si gi est négatif, on aura
1^ Va-.
V, — ce ^ ^« -hc'e
L'équation Vi = o n'a aucune racine, si c et c/ ont le même signe. Donc V -— o ne peut on avoir plus d'une entre o et X.
Considérons maintenant Téqualion (56). Si g2 est positif, \2-"0 aura une infinité de racines éqnitlistanles, dont lu
différence est?:!/— »et l'on peut choisir les constantes
d'intégration de telle sorte que Va s'annule en un point arbitraire a. Donc entre o et X la distance de deux racines con-
séculives de V := o ne pourra pas surpasser tzk/ ~-, et le
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 4l3
nombre total de ces racines aura pour limite inférieure le plus grand entier contenu dans le quotient de X par i^t / -^ •
