Revenons maintenant à Tcquation
Désignons par V(j:, r) une de ses solutions qui satisfasse à la relation
A' — /i V = o pour œ z=:o,
eue
On a vu que, si r rr= o, cette fonction et sa dérivée ne s'annulent pas entre o et X et ont le même signe; on aura donc
k^ ^ IIV
. — ,> o pour J7 z= A, r ^13 o.
Si donc r varie de o à une valeur positive R, gr — / croissant constamment pendant ce changement, le nombre des racines de l'équation
o^=xn{r)^= k-z h HV poura?:izX,
comprises dans cet intervalle, sera égal à A ou A + i , A désignant l'excès du nombre des racines de Péquation
V(a:,R)3izo
sur celui des racines deV(a:, o):i^o dans l'intervalle de o à X.
Cette dernière équation n'ayant pas de racines, A sera le nombre des racines de V(^, R) = o.
D'après l'analyse précédente, il a pour limite inférieure le plus grand entier E contenu dans le quotient de X par
7î i / — TT~ — j-y ^2, /a désignant les plus grandes valeurs de
A", /, et ^2 I21 plus petite valeur de g dans l'intervalle de o à X.
4 14 TROISIÈME PARTIE. — GOAPITRB IIK
Or il est manifeste que E croît indéGniment avec R. Donc Téquation xn{r) --= o admet bien une infinité de racines.
316. Cela posé, nous avons vu (305) que le problème da refroidissement de la barre revient à choisir les coefGcients A», de telle sorte (|u*on ait
^^m^m = /{^) de J?o à X.
Eu admettant la possibilité d*une solution, il sera aisé de déterminer ces coefficients; multiplions, en effet, cette équation par ^V„ et intégrons de o à X. En vertu des relations (4i)» tous les termes de la série où m^/i donneront une intégrale nulle, et Ton aura simplement
Substituant les valeurs ainsi trouvées pour les coefGcieots, nous obtiendrons la série
Si cette série est convergente et a bien pour somme /{j:) dans toutTintervalle de o à X, le problème sera résolu; mais, pour s'en assurer, il serait nécessaire de sommer directement la série. Ce résultat n'a encore été atteint que dans quelques cas particuliers.
317 . Equilibre da température d^ une sphère homogène. — En désignant par /• le rayon de la sphère, nous aurons l'équation aux dérivées partielles
ÏÎÎJUATIONS AUX Df.RIVÉES PAUÏIELl.ES. !\lS
avec la condition à la surface
U=-F(j7, 7,5) pour J?* -+->'* -4- Z^rrizr^.
Posons
x r^ p sinOcos'J', j'zzr p sinO sint};, z:=pcosO.
Nous avons vu (t. II, n** 236) qu'on satisfait à Féquation aux dérivées partielles par la solution simple
Y,| désignant une fonction de Laplace, c'est-à-dire un polynôme homogène et de degré n en sinOcos^, sinOsintJ/, cos6, satisfaisant à l'équation aux dérivées partielles
(jO- sni-0 o^' m
Le polynôme Y„ ainsi déterminé contient d'ailleurs 2/1-4- i (constantes arbitraires dont il dépend linéairement.
En combinant ces solutions simples, on obtiendra comme nouvelle solution la série
"=îë''-
A la surface de la sphère, où p = r, cette série se réduira à
Il reste à déterminer les constantes qui figurent dans les Y,,, de telle sorte que cette valeur soit égale à l'expression
F(/*sinO cos<|/, rsinOsint}/, rcosO),
que nous représenterons, pour abréger, par/(6, ^).
Or nous avons vu (t. II, n*** 243 et suiv.) qu'on arrive à ce résultat en prenant pour les Y„ les valeurs particulières sui-
4l6 TROXSiftXS PARTIE. — CHAPim HT.
▼an les
.îw ^n
Yn^-~j J /(6^f)P,sin6'ûfl)'^4'^
où
P„ ji::X„(cosy) ^ X„ [cos6 cos6' -h sînO sinO' cos(U; — 4#')],
Xn désignant la fonction de Legendre.
318. Cette solution peut se mettre sous une forme plus élégante.
Remarquons, à cet efiet, que la fonction générale Y„ est une somme de termes de la forme
A/jt sin'ij; cos*<|/ sin* *-*6 cos'*~'~*6.
D'ailleurs le produit sin'<|^cos*^ s'exprime linéairement au
moyen des sinus e t cosinus des arcs (t -h A*) i{^, (e-+-A: — ^)^j
Parla substitution de ces expressions, Y;, prendra évidemment la forme
Y„ — y [e'nn cosm^ -h e'^« sin/nij.],
m = 0 OÙ
V et V" étant des polynômes en cosO et sin^O, qui se transformeront en polynômes en cosO si l'on y remplace sin^O par 1 — cos^O.
Substituons le développement précédent de Y« dans inéquation aux dérivées partielles qui définit cette fonction, et chassons les dénominateurs; il viendra
2 sin'O ^" + sine cosO ^ --[«(« + .) sin«6 - m«]e'„J 5infl.i.
Pour que cette expression s'annule identiquement, il faut
évidemment que les termes qui contiennent le sinus et le cosinus de chaque multiple de ^ s^annulent séparément. Donc chacun des termes de Y„, pris à part, sera une solution de Téquation, et ©),„,, 6*„,^ seront des solutions de Téquation linéaire
sin'O-T— -h sinOcosÔ—- -f- r/i(/H- i) sin*0 — m'iB = o.
Posons
er- Vsin"»8;
nous obtiendrons une transformée en V
sin-0- -r h (2m H- 0 sinOcosO— r-
-{- [n(n -t-i) — m(m -\-ï)] sin*6V = 0,
ù laquelle satisferont V'et V".
Prenons enfin cosQ = (x pour nouvelle variable indépendante; nous aurons une dernière transformée
\ (i — fx') -7— — 2(m 4-i)|x-7- (37) j "^ ' dit.* '"^ d\L
( -h[n(n-t-i) — m(m-Hi)]V = o.
Cette équation se lie intimement a l'équation connue
à laquelle satisfait le polynôme de Legendre X„([jl).
En effet, différcntlons m fois cette dernière équation; on
d'^\ obtiendlra, pour déterminer , ^ y une équation identique à
(57). Les intégrales de (57) sont donc les dérivées m*^"'^* des intégrales de (58). Or le seul polynôme qui satisfasse à cette dernière (sauf un facteur constant qui reste arbitraire) est le polynôme de Legendre X„([jl).
Les polynômes V, V", qui satisfont à (37), se réduiront
donc chacun, à un facteur constant près, à — 'j~„r~^ ^^ ^^^ J. — Cours, III. 27
4l8 TROISIÈME PARTIE. — CDAPITRB III.
fonctions
e;„, = V'sin-0, e-^„ =r V^sin'»6
seront égales, à des facteurs constants près, à rexpression
que nous désignerons par P,7((Ji.).
