m) ! j. ^ ^'^^^^'^'""-Cn-'niy, ^~x

ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PAUTIELLES. 4l9

320. Cela posé, nous aurous (•■>9) ^«"^X P;r(|i.)[A,„„cosm<;4-B;„„sinm4^],

cl il restera à déterminer les constantes A et B, de telle sorte qu'on ait

^^Y„=zz^^^V;r(lx)[A,„;,cosmi|; + B^„sinm4;]z:r/(e,il.).

Multiplions celte équation par cosm»} c/^, et intégrons de o à 27r; en remarquant qu'on a

I ces m ^ sin m' 'i^ d'^^ = o,

2u / o, si m ^ m',

/ CCS m ^ ces ni ^ d'^ =i ! ir, si m z— m' : > o, *■ 0 ( 2 7r, si m :-^ m' i:^- o,

il viendra

^*P;r(H^)>/n^A,„„:.-y /(O,4;)cos/w4;^i|;,

)vM étant égal, en général, à i, et à 2 si m ^^ o.

Multiplions cette dernière équation par PJ"([JL)rfpL et intégrons de — I à I, en remarquant que

^+1 1 o, si n > n',

\ ( /i -h- />* ) ! 2/1 H- I il viendra

On trouvera de même

Substituons ces valeurs des coefficients A et B dans Feipression (59) de Y,, et réunissons tous les termes sous qd seul signe d'intégration, après avoir changé les variables d'intégration 0, t{^, jjl en 0', ^', jjl' pour éviter toute confusion; il viendra

,-♦-1 ^ÎIC

X K'Ujl) P;''(!x') cosm(4< — Y) d^dtL'. Mais nous avons précédemment trouvé cette autre valeur

,.« ^IIC

ou, en prenant cosO'=[x' pour nouvelle variable d'intégration,