xiîii

La comparaison de cette valeur avec la précédente donne l'égalité .

qui permet d'exprimer la fonction

P;,z=X„ (cOSy) ^X„ [ jXp.' 4- y/l — |i^ V î^~î^ COS(4i — ^')]

par une somme de produits de trois facteurs, dont chacuo ne dépend que de Tune des variables [jl, jx', A — ij>'.

321. 11 est aisé de vérifier directement cette formule. En effet, P„, considéré comme fonction de 0 et <{/ — ^' ^ est une fonction de l'espèce ¥„ ; elle pourra donc se mettre sous la forme

P„-y'*P,7(HL) [A;;,^ cosm(4; - 4/') 4- B;;,» sinm (ij. — 4,')], où les coefficients k^nt B/n/i ne dépendent plus que de \k'.

ÉQUATIONS AUX DÉRIYÉBS PARTIELLES. /i^I

D'ailleurs P,^ est une fonction paire de ^ — «y; donc les coefficients h^n seront tous nuls. De plus, P« est symétrique en (X et jx'. Donc A;„„ sera égal à CotP^([J^'), Cm désignant une constante.

Nous trouvons ainsi

(Go) P„^^\^,^ P-((x) P2^(!x') cosm(4; - .y

et il ne reste plus qu'à déterminer les constantes Cm»

A cet effet, nous égalerons les valeurs principales des deux membres lorsque Ton y pose [jl=: [jl'i= oo; faisant, pour abréger, ^ — y = cp, la quantité

cosY =r jjljjl'h- y/i — jx* y/ 1 - - fji'^ cos <p se réduira sensiblement à

jjL^(i -- cos«p) — - 2 sin- --<p.ti',

X„(C0Sy)=: — r -7 -(COS'y— ï)'»

9.n{vin—ï),.,(n-^i) aura pour valeur principale

CGS^Y"^-"-

2/1(2/1 — i)..Jn-\-i) . . I

— ^^ -, — sm*" -9.(1*'».

Mais

(2 0*'*sin"»"Oi=: U*^* — e '^^')

:= 2 ces /l O ces (/l — I ) O H- . . .

D'autre part,

43a TR0IS1ËME PARTIE. — CHAPITRE IIT.

La comparaison des termes en p.^^cos/no dans les deu\ membres de Téquation (60) donnera donc, en posant X«n= ^ si /îi >• o, X;„ = I si m = o,

«/?(2/i — iV . .(/? -4-î> 1 2 , , 2/1(2/1 — i) (n-hm-i-O

ni (2£)*'* X;„^ ^ (n — /nj.

loù

Cn.=:

322. Equilibre de température de ^ellipsoïde, — Nous devons salisfaire à Téquation

et à la condition aux limites

nr»^ <»•' i*S

(62) U — F(j;,, jTî, ^3) pour T^ "^ r' • a

Al Aj Aj

Posons

Ai-izÀo-c'i, Aj— Xo— e„ A3=:Xo — «3,

L'équalion de rellipsoïde deviendra

Aq C^ A„ ■ Cj Aq 6^3

Supposons, pour fixer les idées, qu'on ait

Par chaque point de l'espace passent trois surfaces du second degré homofocales

X — ei X — é?2 X — ^3

(t. I, n° 533), orthogonales entre elles; leurs paramètres X|,

7^21 ^3 satisfont aux inégalités

Réciproquement, à chaque système de valeurs de ces paramètres satisfaisant à ces inégalités, correspondent huit points réels, ayant pour coordonnées