On lèvera cette ambiguïté en posant
On a, en eiTet, d'après les notations adoptées dans la théorie des fonctions elliptiques (t. II, n°* 367 et 371).
V/pw — e» — <3'ao W, Ua -^ ïT-^-^-^
d'où
(63) ^a— --Uâ(3'aoWi<3'ao«î*ao"3 (a = 1,2, 3).
Si dans ces formules, qui donnent les trois coordonnées, nous convenons de prendre partout le signe 4-, à chaque système de valeurs de w<, «2» ^z correspondra un seul point
Cherchons comment on devra faire varier u^^ Wj, Uz pour obtenir une fois chaque point réel de l'espace. Posons, pour abréger,
a-e,)a-e,){l-e,)^fa).
La première période
sera réelle et positive, el la seconde période awa sera purement imaginaire.
4'i/| TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
Si X| varie de €2 a es,
sera réel, et Ut (ou du moins l'une de ses valeurs) variera en ligne droite de 0)2 à Wj H- (0|.
Si ).2 varie de e^ à Ci, du2 sera purement imaginaire, et Tune des valeurs de U2 variera en ligne droite de (1)3 à
Enfin, si A3 varie de oo à ^i, du^ sera réel, et Tune des valeurs de u^ variera de o à c«)|.
On obtiendra donc tous les systèmes de valeurs admissibles pour )h} ^-2f ^3 et, pour chacun d'eux, un seul des huit points Xij Xzt ^3 qui lui correspondent, en faisant varier, en ligne droite,
Ui de (0, à toj-^ toi, Uf de coj à coj-h coj, 1/3 de o à 0)].
Les autres points se déduiraient de celui-là en changeant les signes de ses coordonnées.
Ou les obtiendra tous et chacun deux fois, en faisant varier Ui de W2 à Wj 4- 4<'>i tît U2 de 0)3 à 0)3 -h 4<*>2-
En effet, les relations
(t. II, n** 371) montrent que Ton a
si u' -\- a ou u' — Il est une période. Or, à chaque valeur Ut de u, comprise entre W2 et 0)2 -f- w^ , correspondent, dans l'intervalle de (1)2 à o)a -r 4^0 trois autres valeurs de ce genre,
W', z= 2t02-h 2 0)i — Wi, «^ = i£j -^ 2(0,, f/7^^ '^'i "+■ 2C»>,,
A chaque valeur 112 comprise entre 0)3 et 0)3 -|- o>2 correspondent de même dans l'intervalle de 0)3 à (1)3 -h 4 Wj les trois
valeurs associées
Les i6 points
auront au signe près les mômes coordonnées =i=^«, =i= ^2, ±0:3. On vérifie aisément que chacune des combinaisons de signes est reproduite deux fois. Ainsi {ukU^u^) représentera le même point de Tespace que {u\ ulu^), {u^ 112 u^) le même point que (W| u^ f/3), etc.
324. Ces préliminaires posés, prenons Wi, U2, W3 pour variables indépendantes, et cherchons la transformée de Téquation différentielle (Ci); on a
y ()^ii dufr duj Y ^U â'Uf:
ou
2ja àxl ~ Zdk Oui Zjol \ àXoL )
Zjkj Ouk Oiii Zjol Oxoi ôxoi Zàk Ouk Zàol 0x1
Reste à calculer les sommes
ZdT. \ Oxoi ) ' Zàn àxo, dxoi ' 2daL Ôxi
Or on a
duk dufc à^k 1 â'kfc
\àXaJ
àJ^k 4 (yx^)i \à^oiJ 2\lflk ^^à
4^6 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE Ul.
