OU
ZàAàxl) ■"4/x^ZaW
dx^ '
Or^ les surfaces )vA = const., X/ = const. se coupant à angle droit, on a
iOiâXai ÔXoL
D'autre part, en dérivant par rapport à Xol réquation
et posant pour abréger
il vicudru
^*-Xâ7^^^'
Sa.
D'ailleurs si, dans l'expression de Sa, on remplace chacune des quantités x% par sa valeur
il vient
d'après la formule connue de la décomposition en- fractions simples (/, m désignent les deux indices de la suile i, 2, 3 qui diffèrent de A).
On aura donc
(àu^Y ^ ' A ^ '
Enfin Téquation (64) dérivée deux fois de suite par rapport à XoL donnera, en posant pour abréger
^''^ X(xT~b
O =11 .— 2 -V r . »- 2 I -; 1 /. ; — — bz-
Xa- - Col
Sommant par rapport à a, il vient, d'après (66) et (67),
o -V 2 g V ân^
Comparant cette équation à la précédente,
la \àx^] S;fc
il vient
'^ J A A ^a \ àXrj,] ^a ^^a
et, par suite,
L'équation différentielle transformée sera donc
(À/— X^)(X,„ — X;t) dul OU, en chtissant les dénominateur et remplaçant X|, X2, A3
4a8 TROISIÈME PARTIE. — CDAriTRE III.
par j3£/|, pe/2, j)//3,
(08) (pu^-pu^)~ -:-(pw,-pw,)^,--+-(p«i — p«0^;^=o-
325. Quant à réqualion à la surface, il est aisé de la former. Soit u la racine de l'équation
comprise entre o et coi ; on obtiendra les points de la surface de Tellipsoïde, chacun deux fois, en posant u^ = u et faisant varier Ut de o>2 à W2 -r- 4 ^o ''2 de (1)3 à CO3 -f- 4 <«>2 • La température en chaque point de Ja surface étant donnée^ on aura, pour 4/3= u,
4> étant une fonction arbitrairement donnée de Wj = coj à
(/i = 0)2 -T- 4 <»>M et de tto = <»>3 à M2 = W3 -h 4 ^2 • ( Elle devra d'ailleurs reprendre la même valeur pour les deux sj^stèmes de valeurs de Uty U2 qui représentent le même point.)
326. On peut aisément trouver des solutions simples de l'cqualion aux dérivées partielles (68). Nous aurons vu en effet (231), que pour chaque valeur de l'entier positif n on peut déterminer 2n -j- i valeurs de la constante h telles que, pour chacune d'elles, l'équation de Lamé
■^t —[n(n-^i)pu-\-h]x=zo admette une solution particulière
M(//)nrNP
qui possède les deux périodes 4^4 et 4^3» Posons, pour abréger,
Le produit M,M2M3 satisfera à l'équation aux dérivées partielles ; car le résultat de la substitution sera
quantité identiquement nulle.
Cette solution simple, exprimée en fonction de 4^1, ^2, x^ sera un polynôme entier; car N étant un produit de facteurs de la forme c^ao"» NiNoNj sera un produit de facteurs tels que
D'autre part, P1P2P3 sera un polynôme entier et symétrique par rapport aux quantités p w«, j3//2j P'^3* Or celles-ci sont les racines de l'équation du troisième degré
Xfg
dont les coefficients sont des polynômes entiers en x^^ x^^ «3^3.
327. En associant les solutions simples qui précèdent^ nous obtiendrons une série
c^Mf m;^-»m
qui résoudra le problème proposé si les coefficients Ck peuvent être déterminés de manière à satisfaire à l'équation de la surface
(70) ^c*Mi*^Mt/'m<3*> = *(«^„«,),
m^^^ représentant la valeur de M!*' pour u^ = 0.
328. En admettant provisoirement que la fonction ^ soit susceptible d'un développement de la forme (70), il sera aisé d'en déterminer les coefficients.
43o TROISIÈMR PARTIE. — CHAPITRE III.
Multiplions, en efret,régalilé (70) parM^/' M^' (pf/i — pnj) el intégrons par rapport à Ut de (Oj à (O2 •+- 4<>^f ? ^^ P^i* r^P" port à i/a de (03 a (1)3 + 4 ^2 » l'intégrale double
|§ m;*> m;*' m v^ My^ (pu, - pu, ) du, du,,
qui multiplie Ckm^^\ est le déterminant des quatre intégrales simples
I, ^ Jm\'» Mi*'P"i du,, I, ^f^^ M^^^^pu,du,.
Ce déterminant est nul si i^k.
En effet, M^'\ IVr*' sont solutions de deux équations de Lamé différentes, telles que
^ -^-^ [n {n ,- j)pu -f- /i]M(^J m o,
du
du-
On en déduit
[n\n'-r i)pu',~ h']^V^^ —o.
[n(/i -i- 1.) - n'{n' f- i)]M(')M(^>j)m -i- (A - h') M(OM</'>
lu L ^^'^ ^^'^ J
Intégrons de Wj à Wo -j- 1 w^ . Les fonctions M admettant la période 4^'^«? l'intégrale du second membre sera nulle, el il viendra
[/i(/iH-i) —n'(n'-\-i)]\i-\ (h — h')Ji z=zo.
Intégrant de W3 à 0)3 -!- 4^2 on trouverait de in<}ine
[n{n-, i)- n\n' -\-i)]li~\-{h — h')5tz=^Oy d'où
à moins qu'on n'ait à la fois n - - n', h r h\ d'où i z:= A".
Calculons ce même déterminant dans l'hypothèse où i = Ar. Les fonctions M^^^M^^^pw, Mf^^M^*^ admettent les périodes 2 0)|, 20)2; elle sont paires et n'ont de pôle que pour u=:o* Décomposées en éléments simples, elles seront donc de la
forme
M(*)M<*>pw — a* -:- ajpw -+- oL^p" w -f- . . . ,
Intégrant de w^ à 0)2 -H 4^1? il viendra
I, r=: 4a^a)i - 4<Til, Jl ^ 4?*CUj - 4PÎ11,
En intégrant de (1)3 à (03 -!- 4<»>2» on aurait de même
1, z=: 4a*a)j - 4aiT,i, J, -^ 4pA(o, - 4PJti„
et, par suite,
On aura donc, pour déterminer ca, la formule
329. Il reste toutefois à établir que la fonction arbitraire *^(wi, «2) admet effectivement un développement de la forme (70). Nous y parviendrons par les considérations suivantes :
Soient X|, 0:2, ^3 et r, W|, U2 deux systèmes de variables liés par les relations
On en déduit aisément
^pW2 -Ca
43a TBOISIËXB PJIRTIB. — CHAPlTmB III.
Ces équations représentent ane sphère et deux cônes homofocaux, qui se coupent à angle droit.
A chaque point réel x^j x^^ Xj, correspondent : i® nne seule valeur de r ; 2® deux racines de Téqualion
dont la première, A| = put, sera comprise entre e^ et e% ; et la seconde À^ = p 1/3 entre e^ et 6% ; 3® deux systèmes de Hleurs de i/|, u^ tels que i/f soit compris entre cu^ et ci>3 ~r 4 ^f 9 ^t ^1 entre (O3 et 0)3 + 4 ^s-
Réciproquement, si Je point (i/|, Hs) parcourt le domaine ainsi défini, le point (xi, Xs, Xs) décrira deux fois la sphère de rayon r qui a Torigine pour centre.
330. Si Ton prend r, £/|, u^ pour variables indépendantes, Téquation du potentiel
se transformera en
ôr
2u àx\ Oui 2L àxi ôut Z^ àxl ^'
Les termes de la seconde ligne disparaissent, car les sur faces r= const., f/| = const., Wa = const. étant orthogonales, on a
V^ âr âut
^ âxoi Oxo^ ~~ ' " * ' L'équation
^xl^r^
donne, d'autre part,
'la
àxa d'où
\ f àr Y V' d^ 2
D'autre part, les équations
donneront, comme au n" 324,
en posant, pour abréger,
Or ou a ici d'où
S — ,.1 V '^i — ^a j,t h^^ll .
On a donc finalement
ZdXOxoi) r*(Xj— X,j /-'(pM^— pwi)' On trouvera de même,
L'équation du potentiel aura donc pour transformée la suivante :
Or- r^{put — pux)\du\ Ou\ J r Or J. — Cours, III. a8
434 TBOISIftHB PABTIB. — CHAPITU UI.
OU
Cela posé, on sail (t. II, n° 236) que pour chaque valeur de rentier positif n il existe 2/14-1 fonctions Y„ linéairement distinctes et définies par cette dx)uble propriété :
1° Les fonctions r«Y«, (où r = ^x*-f-^*H-^*) sootdes polynômes homogènes d'ordre /i en ^1, x^y jo^ ; 2** ces polynômes satisfont à Téquation du potentiel.
Mais nous venons de voir qu'à cette même valeur de n correspondent 2/1-hi valeurs de h pour lesquelles Téquation de Lamé
•^t - [n{n -hi)pu -h h]M = 0,
admet une intégrale doublement périodique de la forme
